1  ^?? Найдите ускорение клина $a_0$ относительно земли.

Обозначим скорость и ускорение клина относительно земли как $v_0$ и $a_0$ соответственно. Скорость и ускорение центра масс шара относительно клина обозначим как $v_c$ и $a_c$.

Пусть сила трения, возникающая между шаром и клином, равна $f$. Тогда уравнение движения шара относительно клина принимает вид:\[ma_c=ma_0\cos\theta+mg\sin\theta-f.\]Для вращения клина можно записать\[I_c\ddot{\varphi}=fr.\]В случае, когда проскальзывание отсутствует, кинематическая связь имеет вид\[v_c=r\dot{\varphi},\qquad a_c=r\ddot{\varphi}.\]Наконец, для однородного шара\[I_c=\frac{2}{5}mr^2.\]Отсюда сила, действующая на клин, равна\[f=\frac{2}{5}ma_c.\]Поскольку центр масс системы не смещается по горизонтали, имеет место соотношение\[m(v_c\cos\theta-v_0)=Mv_0\implies m(a_c\cos\theta-a_0)=Ma_0.\]Комбинируя уравнения, получаем:

2  ^?? Найдите ускорение центра масс шара $a_c$ относительно клина.

3  ^?? Найдите силу реакции опоры $N$, действующую на клин со стороны земли.

Вертикальная компонента скорости шара\[v_y=\frac{-mv_c\sin\theta}{M+m}\implies a_y=\frac{-ma_c\sin\theta}{M+m}.\]Чтобы найти силу реакции опоры $N$, не используя силу $f$ в уравнении, запишем второй закон Ньютона для системы клин$+$шар в проекции на вертикальную ось:\[(M+m)a_y=N-(M+m)g\implies\]

4  ^?? Найдите силу реакции опоры $N_1$, действующую на шар со стороны клина.

Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на ось, перпендикулярную поверхности клина:\[N_1+ma_0\sin\theta=mg\cos\theta\implies\]

5  ^?? Найдите наименьшее значение коэффициента трения $\mu_0$ между шаром и клином, при котором возможно его движение без проскальзывания.

Искомое значение можно найти как $\mu_0=f/N_1$:

6  ^?? Найдите скорость точки $P$ шара, соприкасающейся с клином, через время $\Delta t$ после начала движения.

В случае $\mu < \mu_0$ второй закон Ньютона для шара в проекции на поверхность клина запишется в виде:\[ma_c=ma_0\cos\theta+mg\sin\theta-\mu N_1\implies a_c=\frac{(M+m)g(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{M+m-m\cos^2\theta-\mu m\sin\theta\cos\theta},\quad f=\frac{\mu Mmg\cos\theta}{M+m-m\cos^2\theta-\mu m\sin\theta\cos\theta}.\]Угловое ускорение шара:\[\ddot{\varphi}=\frac{5}{2}\frac{f}{mr}.\]Скорость точки контакта шара и клина:\[v_P=v_c-r\dot{\varphi}=\left(a_c-r\ddot{\varphi}\right)\Delta t.\]Выражая ответ через исходные величины, получим:

Стоит заметить, что при $\mu=\mu_0$ получается ответ $v_P=0$, а при $\mu < \mu_0$ скорость получается положительной. Такие проверки могут помочь оптимистично проверить результат в условиях олимпиады.