Знаменитый художник Чжан Цзэдуань времен династии Северная Сун (эпоха Цинмин) на своём главном творении изобразил деревянный арочный мост (рис. 1), который образует дугу над рекой. Более четырёх веков спустя Леонардо да Винчи оставил похожий рисунок в своей рукописи (рис. 2). Конструкция арочных мостов вызывает удивление и по сей день.

Рассмотрим модель арочного моста, показанную на рисунке ниже.

Пазы или гвозди в такой конструкции отсутствуют — все компоненты сжаты силами трения и реакции опоры. (Стоит отметить, что реальные арочные мосты всё же требуют наличия пазов из соображений безопасности.)

Мост состоит из парных длинных шестов длиной $L$ и массой $M/2$ (пары шестов обозначены $C$, $D$ и $D'$; шесты параллельны плоскости рисунка) и одиночных коротких шестов массой $m$ (обозначены $A$, $A'$ и $B$; перпендикулярны плоскости рисунка). Радиус каждого шеста равен $r$, длинные шесты не касаются друг друга. Поверхность шеста $B$ можно считать гладкой. Коэффициент трения между всеми остальными шестами равен $\mu$, а коэффициент трения между шестами и землёй равен $\mu'$. Угол между шестами $D$, $D'$ и горизонтом равен $\theta$. Ускорение свободного падения равно $g$.

Пусть расстояние от нижнего конца одного из шестов $D$ до точки контакта с шестом $A$ равно $a$.

1 Найдите выражение для расстояния $b$ от нижнего конца одного из шестов $D$ до точки контакта с шестом $B$.

На рис. 4 и 5 показаны силы, которые действуют в равновесии на шесты $A$ и $B$ соответственно.

2 Рассмотрите силы, действующие на шесты $A$, $B$ и пары шестов $C$, $D$. Запишите условия равновесия всех шестов. Нарисуйте силы, действующие на пары шестов $C$ и $D$. Для удобства это можно сделать прямо на рис. 3.

Численные значения $M=6m$, $\theta=45^\circ$, $L=30~см$, $a=16~см$ и $R=2(\sqrt{2}-1)~см$.

3 При каких минимальных коэффициентах трения $\mu$ и $\mu'$ возможно равновесие моста в этом случае? Приведите численные ответы с тремя значащими цифрами.