1  ^?? Найдите выражение для расстояния $b$ от нижнего конца одного из шестов $D$ до точки контакта с шестом $B$.

2  ^?? Рассмотрите силы, действующие на шесты $A$, $B$ и пары шестов $C$, $D$. Запишите условия равновесия всех шестов. Нарисуйте силы, действующие на пары шестов $C$ и $D$. Для удобства это можно сделать прямо на рис. 3.

Изобразим силы:

В дальнейшем используем обозначения, введённые на рисунках выше.

Равновесие шеста $A$ (второй закон Ньютона $+$ ЗСМИ):

Независимое уравнение для шеста $B$ (второй закон Ньютона):

Независимое уравнение для пары шестов $C$ (второй закон Ньютона):

Равновесие пары шестов $D$ (второй закон Ньютона $+$ ЗСМИ относительно точки контакта с землёй):

Альтернативно ЗСМИ можно записать и относительно центра масс, но уравнение будет выглядеть куда более громоздко:\[N_{5}\left({\frac{L}{2}}\cos\theta-R\sin\theta\right)=f_{5}\biggl({\frac{L}{2}}\sin\theta+R\cos\theta\biggr)+N_{2}\biggl({\frac{L}{2}}-a\biggr)+f_{2}R+N_{4}\biggl(b-{\frac{L}{2}}\biggr).\]

3  ^?? При каких минимальных коэффициентах трения $\mu$ и $\mu'$ возможно равновесие моста в этом случае? Приведите численные ответы с тремя значащими цифрами.

Вычислим $b=a+4R\operatorname{ctg}\frac{\theta}{2}=24~см$. Из условий равновесия шеста $A$:\begin{cases}f_1=f_2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}N_2\\N_1+mg=N_2\end{cases}Из условий равновесия $B$ и $C$:\[N_1=N_4\cos\theta+\frac{1}{2}(M+m)g.\]Комбинируя в одно уравнение:\[(N_{1}+m g)a+M g\left(\frac{L}{2}\cos\theta-R\sin\theta\right)=\left[N_{1}-\frac{1}{2}(M+m)g\right]\frac{b}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}(N_{1}+m g)\cdot 2R,\]откуда\[N_{1}={\frac{m g a+M g\left({\frac{L}{2}}\cos\theta-R\sin\theta\right)+{\frac{1}{2}}(M+m)g{\frac{b}{\cos\theta}}-{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}m g\cdot2R}{\frac{b}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\cdot2R-a}}=10.427mg.\]Тогда силы трения\[f_1=f_2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}(N_1+mg)=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\frac{M g\left(\frac{L}{2}{\cos\theta}-R\sin\theta\right)+\frac{1}{2}(M+3m)g\frac{b}{\cos\theta}}{\frac{b}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\cdot2R-a}=4.733mg.\]Условия на силы трения\[f_1\le\mu N_1,\qquad f_2\le\mu N_2.\]Поскольку $f_1=f_2$, а $N_2 > N_1$, сначала нарушится первое неравенство. Итого:

Добавим условие равновесия $D$:\[N_5=\frac{3}{2}(M+m)g=\frac{21}{2}mg\implies f_{5}=N_{1}\left(\operatorname{tg}\theta-{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}\right)-{\frac{1}{2}}(M+m)g\operatorname{tg}\theta-m g{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}=2.194mg.\]Условие для силы трения $f_5\le\mu'N_5\implies$