1  ^?? Найдите скорость частицы $v_0$ и угол $\theta_0$.

Чтобы такое движение было возможно, $z$-компонента электрического поля должна отсутствовать, т.е.:\[e(\hat z\cdot\vec E)=\frac{ep}{4\pi \varepsilon_0 r_0^3}(3\cos^2\theta_0-1)=0\implies \cos\theta_0=\pm1/\sqrt{3}.\]Центростремительная сила, которая при этом действует на частицу:\[F=-\frac{3ep}{4\pi\varepsilon_0r_0^3}\cos\theta_0\sin\theta_0.\]Чтобы частица могла двигаться по окружности, должно быть $F > 0\implies$

Далее, поскольку $F=mv_0^2/R$, где $R$ – радиус окружности, то\[v_0={\sqrt{\frac{F R}{m}}}={\sqrt{-{\frac{3e p}{4\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\cos\theta_{0}\sin^{2}\theta_{0}}}={\sqrt{-{\frac{3e p}{4\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\cos\theta_{0}\left(1-\cos^{2}\theta_{0}\right)}}\implies\]

2  ^?? Определите зависимость момента импульса частицы $L$ от угла $\theta$ при её дальнейшем движении.

Вектор момента импульса частицы:\[\vec L=m[\vec r\times\vec v]=m[\vec r\times(\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta)]=mr^2\dot\theta\hat n,\]где $\hat n=[\hat r\times\hat\theta]$. Момент сил, действующий на частицы, равен:\[\vec M=e[\vec r\times \vec E]=-\frac e{4\pi\varepsilon_0 r^3}[\vec r\times\vec p]=\frac{ep\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat n\implies {\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}}={\frac{\mathrm{d}\left(m r^{2}{\dot{\theta}}\right)}{\mathrm{d}t}}={\frac{e p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}}\]Домножая на $L$, получим полный дифференциал:\[L\,{\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}}={\frac{e p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}}\cdot m r^{2}{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}={\frac{m e p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}\implies {\frac{\mathrm{d}L^{2}}{\mathrm{d}t}}=-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\Biggr({\frac{m e p}{2\pi \varepsilon_{0}}}\cos\theta\Biggr).\]Учитывая граничные условия $L(\theta=\theta_0)=0$, получим ответ:

3  ^?? Найдите зависимость радиальной скорости частицы $v_r$ от расстояния до начала координат $r$ при её дальнейшем движении.

Потенциал поля диполя:\[\varphi=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2},\]тогда ЗСЭ запишется в виде:\[\frac{1}{2}mv^2+e\varphi=\frac{1}{2}m\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)+\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{p\cos\theta_0}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad\underset{L=mr^2\dot\theta}{\overset{p_r=m\dot r}\implies}\quad \frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{L^{2}}{2m^{2}}+\frac{e p\cos{\theta_{0}}}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{e p\cos{\theta_{0}}}{4\pi
\varepsilon_{0}r_{0}^{2}}\]Подстановка выражения для момента импульса, полученного в предыдущем пункте, заметно упрощает уравнение и позволяет найти:

4  ^?? При каком условии на начальный угол $\theta_0$ движение частицы будет финитным?

Движение возможно только в области $v_r^2 > 0\implies $ движение инфинитно при $\theta < \pi/2\implies$ движение финитно при

5  ^?? В случае инфинитного движения определите зависимость от времени расстояния $r(t)$ от частицы до начала координат.

Фактически, необходимо решить уравнение\[\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}={\sqrt{\frac{ep\cos\theta_{0}}{2\pi m\varepsilon_0}{\left({\frac{1}{r_{0}^{2}}}-{\frac{1}{r^{2}}}\right)}}}.\]Поскольку\[\sqrt{\frac{e p \cos{\theta_{0}}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\mathrm{d}t=\frac{r~\mathrm dr}{\sqrt{r^{2}-r_{0}^{2}}}=\mathrm{d}\sqrt{r^{2}-r_{0}^{2}},\]то, учитывая граничные условия $r(t=0)=r_0$, получим\[{\sqrt{r^{2}-r_{0}^{2}}}-{\sqrt{\frac{e p{\cos}\theta_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}}t=0\implies\]