1  ^?? Считая $B_e$ известным, найдите магнитный момент $m$ и распределение плотности тока по поверхности проводника.

Радиальная компонента магнитного поля при пересечении поверхности проводника должна сохраниться $\implies$ снаружи проводника суммарное поле должно удовлетворять условию:\[0=(\hat r\cdot\vec B)_{r=a}=\left(\hat r\cdot \left[\vec B_e+\frac{\mu_0}{4\pi a^3}\big\{3(\vec m\cdot\hat r)\hat r-\vec m\big\}\right]\right)=(\hat r\cdot \vec B_e)+\frac{\mu_0}{2\pi a^3}(\hat r\cdot\vec m).\]Из соображений симметрии $\vec m$ коллинеарен $\vec B_e$, поэтому

Поверхностная плотность тока на границе проводника будет равна\[\mu_0\vec i=[\vec r\times\vec B]_{r=a}=\left[\hat r\times\frac{3}{2}\frac{\vec B_e}{\mu_0}\right]\implies\]

2  ^?? Найдите магнитную индукцию $B$, создаваемую катушкой в центре левитирующего проводника в момент времени $t$.

Магнитное поле будет направлено вдоль оси $z$, поэтому сразу пишем проекцию:\[B=\frac{\mu_0I(t)}{4\pi(b^2+h^2)}\frac{b}{\sqrt{b^2+h^2}}\cdot 2\pi b\implies\]

3  ^?? Считая, что положение проводника практически не меняется, найдите амплитуду тока $I_0$, при которой возможна левитация проводника. Можете считать известной формулу для силы, действующей на диполь в магнитном поле:\[\vec F=m\frac{\mathrm dB(z)}{\mathrm dz}\hat z.\]

Поскольку $\delta\ll a$, магнитный момент проводящего шара будет равен (результат п. 1)\[\vec m=-\frac{2\pi a^3}{\mu_0}\vec B.\]Найдём силу, действующую на шар:\[\vec F=-\frac{2\pi a^3}{\mu_0}B\frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\hat z=-\frac{\pi a^3}{\mu_0}\frac{\mathrm dB^2}{\mathrm dz}\hat z.\]Подставляя магнитное поле:\[F\left(t\right)=-\frac{\pi a^3}{\mu_{0}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\Bigg[\frac{\mu_{0}^{2}I_{0}^{2}b^{4}}{4\left(b^{2}+z^{2}\right)^{3}}\cos^{2}\omega t\Bigg]_{z=h}\widehat{z}=\frac{3\pi a^{3}b^{4}h}{2\left(b^{2}+h^{2}\right)^{4}}\mu_{0}I_{0}^{2}\cos^{2}(\omega t)~\widehat{z}.\]Поскольку $\overline{\cos^2\omega t}=1/2$, а средняя сила должна быть равна весу, получим уравнение:\[\frac{3\pi a^{3}b^{4}h}{4\left(b^{2}+h^{2}\right)^{4}}\mu_{0}I_{0}^{2}=G\implies\]

4  ^?? Найдите выражение для средней тепловой мощности Джоулевых потерь в системе. Ваш ответ не должен содержать $\delta$.

Объёмная плотность токов у поверхности проводника:\[J={\frac{i}{\delta}}=\left(-{\frac{3B}{2\mu_{0}\delta}}\sin\theta\,\right){\hat{\phi}}\]Мощность Джоулевых потерь на единицу объёма равна $p=J^2/\sigma\implies$ полная мощность потерь:\[P{\big(}t{\big)}=\int p~\mathrm{d}V=\int p\cdot 2\pi r^{2}\sin\theta~\mathrm{d}r~\mathrm{d}\theta={\frac{9\pi B^{2}}{2\mu_{0}^{2}\sigma\delta^{2}}}\int\limits_{a-\delta}^{a}r^{2}~\mathrm{d}r~\int\limits_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta~\mathrm{d}\theta\overset{\delta\ll a}{=} 6\pi a^2\frac{B^2}{\mu_0^2\sigma\delta}.\]Подставляя выражения для $\delta$ и среднего квадрата магнитного поля (из предыдущего пункта), получаем: