Pho.rs: Маятник Капицы

Условие

Edu

Cn23

Как показано на рисунке, жёсткий однородный стержень длиной $l$ и массой $m$ свободно вращается вокруг горизонтальной оси $O$, к которой он прикреплен одним концом. Положение стержня в плоскости, перпендикулярной оси вращения, описывается углом $\theta\in(-\pi,\pi)$ между стержнем и направлением вертикально вниз. Угол $\theta$ отсчитывается против часовой стрелки. Ускорение свободного падения равно $g$. Сопротивлением воздуха при решении задачи пренебрегите.

Ось вращения $O$ колеблется по вертикали с малой амплитудой $A\ll l$ и большой частотой $\omega\gg\sqrt{\cfrac {g}{l}}$ по закону:\[z(t)=A\cos\omega t.\]Рассмотрим движение стержня в неинерциальной системе отсчёта, связанной с осью $O$.

1 Запишите уравнение динамики для зависимости угла $\theta(t)$ от времени.

Зависимость угла $\theta(t)$ от времени может быть приближённо записана как сумма $\varphi(t)$ и $\delta(t)$, где $\varphi(t)$ представляет собой медленно меняющуюся усреднённую компоненту этой зависимости, а $\delta(t)$ представляет собой гармонические колебания с частотой $\omega$. $\varphi(t)$ меняется достаточно медленно, чтобы его можно было считать примерно постоянным на масштабах времени порядка периода $\delta(t)$. Влияние высокочастотной компоненты на движение стержня можно исследовать, усредняя уравнение динамики по периоду.

2 Выведите уравнение, которому удовлетворяет $\varphi(t)$.

Уравнение, полученное в предыдущем пункте, можно интерпретировать как уравнение движения стержня в эффективном внешнем потенциале $V_{\mathrm{eff}}(\varphi)$.

3 Считая, что $V_{\mathrm{eff}}(\varphi=0)=0$, получите выражение для $V_{\mathrm{eff}}(\varphi)$.

4 Определите положения равновесия $\varphi_0$ стержня в поле $V_{\mathrm{eff}}(\varphi)$. Исследуйте эти положения равновесия на устойчивость. Найдите частоту малых колебаний относительно устойчивых положений равновесия. Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть в начальный момент времени стержень направлен вертикальной вниз ($\theta(t=0)=0$) и движется с угловой скоростью $\dot{\varphi}(t=0)=\omega_0 > 0$. Чтобы стержень мог сделать полный оборот, его угловая скорость должна быть больше некоторого критического значения $\omega_c$.

5 Найдите $\omega_c$ и максимальный угол $\varphi_{\max}$, на который может подняться стержень в случае $\omega_0 < \omega_c$. Рассмотрите все возможные случаи.