Для исследования внутренней структуры атомов проводится эксперимент по рассеянию Резерфорда. Схема эксперимента показана на рис. 1. Пучок $\alpha$-частиц падает на мишень (например, золотую фольгу) и рассеивается на ней. В эксперименте анализируется зависимость числа отклонённых частиц от угла отклонения.

$\alpha$-частицы образуются в результате распада радиоактивных элементов. Пусть в проводимом эксперименте покоящееся ядро полония ${}^{210}_{~~84}{\mathrm{Po}}$ распадается на ядро свинца $\mathrm{Pb}$ и $\alpha$-частицу с энергией $5.31~МэВ$.

1 Запишите уравнение этой реакции. Вычислите суммарную кинетическую энергию продуктов распада $E_d$.

На рис. 2 показан процесс рассеяния $\alpha$-частицы. Частица массой $m$ и зарядом $2e > 0$ налетает с прицельным параметром $b$ ядро $A$ зарядом $Ze$. Ядро закреплено. Полная механическая энергия системы равна $E$. В результате рассеяния частица отклоняется на угол $\theta$.

2 Найдите зависимость $b(\theta)$.

Для описания распределения числа рассеянных частиц по углам в физике вводится понятие дифференциального сечения рассеяния $\sigma$, которое вводится как отношение числа частиц $\mathrm dN$, рассеивающихся в единицу времени $\mathrm dt$ в единичный элемент телесного угла $\mathrm d\Omega$, к плотности потока падающих частиц вдали от центра рассеивания. В осесимметричном случае (как, к примеру, в этой задаче) $\sigma$ будет зависеть только от угла рассеяния $\theta$.

3 Найдите зависимость $\sigma(\theta)$ (прицельный параметр $b$ не может входить в ответ).

4 Объясните причину возникновения излома. Рассчитайте минимальное расстояние $r_{\min}$ между $\alpha$-частицей и ядром золота в точке излома.

Схема эксперимента, показанная на рис. 1, не позволяет достичь угла рассеяния $180^\circ$ из-за конечной ширины источника $\alpha$-частиц и регистрирующего оборудования.

5 Предложите модификацию установки, которая бы позволила достичь угла рассеяния $180^\circ$. Приведите в ответе схему установки.