1  ^?? Запишите уравнение этой реакции. Вычислите суммарную кинетическую энергию продуктов распада $E_d$.

Распад с большой точностью нерелятивистский. Поскольку атом полония изначально покоился, скорости атома свинца ($V$) и $\alpha$-частицы $(v)$ после распада будут связаны соотношением:\[V=\frac{m_\alpha v}{M_{\mathrm{Pb}}}=\frac{4v}{A-4},\]где $A$ — массовое число атома полония. Суммарная кинетическая энергия:\[E_d=\frac{1}{2}M_{\mathrm{Pb}}V^2+\frac{1}{2}m_\alpha v^2=\frac{A}{A-4}\cdot\frac{1}{2}m_\alpha v^2=\frac{A}{A-4}E_\alpha\implies\]

2  ^?? Найдите зависимость $b(\theta)$.

Законы сохранения энергии и момента импульса имеют вид:\[\begin{cases}E=\cfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cfrac{Ze\cdot2e}{r}+\cfrac{1}{2}m\big(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2\big)=\cfrac{1}{2}mv_0^2\\L=mr^2\dot\varphi=mv_0b\end{cases}\]$\dot r$ можно переписать в виде:\[\dot r=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\varphi}\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\dot{\varphi}\implies\cfrac{2mE}{L^2}=\cfrac{4Ze^2m}{4\pi\varepsilon_0L^2}\cfrac{1}{r}+\cfrac{1}{r^2}+\cfrac{1}{r^4}\left(\cfrac{\mathrm dr}{\mathrm d\varphi}\right)^2.\]Поскольку $\cfrac{\mathrm d}{\mathrm d\varphi}\cfrac{1}{r}=-\cfrac{1}{r^2}\cfrac{\mathrm dr}{\mathrm d\varphi}$, предыдущее уравнение удобно переписать в терминах величины $\rho\equiv r^{-1}$ как\[\cfrac{\mathrm d^2\rho}{\mathrm d\varphi^2}+\rho=\frac{-2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2b^2}\implies r^{-1}=\frac{-2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2b^2}(1+\cos\varphi)+\cfrac{1}{b}\sin\varphi.\]Чтобы связать это уравнение с углом отклонения частицы, заметим, что при $r^{-1}\to0$, $\varphi=\pi-\theta$. Отсюда:\[\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\operatorname{tg}\cfrac{\theta}{2}=-\cfrac{1}{b\cdot\frac{-2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2b^2}}\implies\]

3  ^?? Найдите зависимость $\sigma(\theta)$ (прицельный параметр $b$ не может входить в ответ).

По определению\[\sigma=\frac{\mathrm dS}{\mathrm d\Omega}=\frac{2\pi b~|\mathrm db|}{2\pi\sin\theta~\mathrm d\theta}.\]Подставляя результат предыдущего пункта, получим:\[\sigma=\frac{\frac{\pi}{4}\left(\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0E}\right)^2\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin^3\frac{\theta}{2}}~\mathrm d\theta}{2\pi\sin\theta~\mathrm d\theta}=\left(\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0E}\right)^2\frac{1}{16\sin^4\frac{\theta}{2}}\implies\]

4  ^?? Объясните причину возникновения излома. Рассчитайте минимальное расстояние $r_{\min}$ между $\alpha$-частицей и ядром золота в точке излома.

Чтобы найти минимальное расстояние между $\alpha$-частицей и ядром, вновь запишем законы сохранения момента импульса и энергии:\[\begin{cases}mv_0b=mv'r_{\min}\\\cfrac{1}{2}mv_0^2=\cfrac{1}{2}mv^{\prime2}+\cfrac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r_{\min}}\end{cases}\implies\]

Подставляя числа ($E=25~МэВ$, $\theta=60^\circ$, $Z=79$), получим:

5  ^?? Предложите модификацию установки, которая бы позволила достичь угла рассеяния $180^\circ$. Приведите в ответе схему установки.

Поскольку $\alpha$-частицы заряжены, они будут отклоняться при движении в магнитном поле. Если расположить мишень в области сильного магнитного поля, то $\alpha$-частицы смогут рассеиваться на $180^\circ$ и попадать в детектор, не сталкиваясь с другими препятствиями.