Нейтральные атомы могут взаимодействовать друг с другом: на большом расстоянии они притягиваются, на малом — отталкиваются. Это позволяет многим веществам объединяться в кристаллы при малых температурах, образуя равновесную периодическую структуру. Рассмотрим кристалл с кубической решёткой, состоящий из одинаковых атомов массой $M$.

Потенциал взаимодействия $V(R)$ двух атомов, находящихся на расстоянии $R$, может быть приближённо описан потенциалом Леннарда—Джонса:\[V(R)=\mathcal E_0\left[\left(\frac{r_0}{R}\right)^{12}-\left(\frac{r_0}{R}\right)^{6}\right],\]где $\mathcal E_0 > 0$ — характерная энергия взаимодействия, $r_0$ — характерный масштаб взаимодействия. Для простоты считайте, что эти постоянные не зависят от температуры. Положение атомов в таком кристалле задаются координатами:\[\vec R_{l_xl_yl_z}=(l_xa,l_ya,l_za),\quad l_{x,y,z}\in\mathbb Z.\]

1 Получите выражение для постоянной решётки $a$. В ответ могут входить $r_0$ и величины $A_n$, определённые как:\[A_n\equiv\sum_{\underset{(l_x,l_y,l_z)\ne(0,0,0)}{l_x,l_y,l_z}}\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{-n/2},\quad n\in\mathbb N.\]

2

Рассчитайте численное значение $A_6$, учитывая влияние:

1. ближайших соседей на расстоянии $\le a$,
2. ближайших соседей на расстоянии $\le\sqrt2 a$ и
3. ближайших соседей на расстоянии $\le\sqrt 3 a$.

Строгое решение задачи о колебаниях кристаллической решётки выходит за пределы школьной физики. В упрощённой модели, предложенной Эйнштейном, колебания отдельных атомов считаются независимыми (т.е. при рассмотрении колебаний одного из атомов остальные считаются неподвижными).

3 Найдите угловую частоту $\omega_E$ малых колебаний атомов кристаллической решётки в модели Эйнштейна. В ответ могут входить величины $a$, $r_0$, $M$, $\mathcal E$ и $A_n$.

Попробуем применить результаты, полученные в модели Эйнштейна, в случае больших амплитуд колебаний. Распределение атомов по колебательным состояниям подчиняется распределению Больцмана: при температуре $T$ вероятность того, что импульс и смещение атома лежат в диапазоне $[p,p+\mathrm dp]$ и $[u+\mathrm du]$ соответственно, пропорциональна\[\exp\left[-\frac{E}{k_BT}\right]~4\pi p^2\mathrm dp~4\pi u^2\mathrm du,\]где $E$ — полная механическая энергия атома, $k_B$ — постоянная Больцмана. Постоянная Авогадро известна и равна $N_A$.

4 Найдите молярную теплоёмкость кристалла $C_V$ в модели Эйнштейна.

Амплитуда колебаний атомов увеличивается с температурой. Согласно критерию Линдемана, кристалл плавится, когда средняя величина смещения атомов при колебаниях достигает $C_La$, где $C_L\sim0.1$ — численный коэффициент.

5 Получите выражение для температуры плавления кристалла $T_M$. В ответ могут входить величины $M$, $a$, $\omega_E$ и $k_B$.