1  ^?? Получите выражение для постоянной решётки $a$. В ответ могут входить $r_0$ и величины $A_n$, определённые как:\[A_n\equiv\sum_{\underset{(l_x,l_y,l_z)\ne(0,0,0)}{l_x,l_y,l_z}}\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{-n/2},\quad n\in\mathbb N.\]

Будем для удобства обозначать сумму по всем целым тройкам $(l_x,l_y,l_z)\ne(0,0,0)$ как $\sum'$. Тогда энергия взаимодействия атома с остальной решёткой равна:\[V_0=\mathcal E\sum'\left[\left(\cfrac{r_0}{R_{l_xl_yl_z}}\right)^{12}-\left(\cfrac{r_0}{R_{l_xl_yl_z}}\right)^{6}\right]=\mathcal E\left[A_{12}\left(\cfrac{r_0}{a}\right)^{12}-A_6\left(\cfrac{r_0}{a}\right)^{6}\right].\]Равновесное состояние (реальная решётка) соответствует минимальности энергии:\[0=\cfrac{\mathrm dV_0}{\mathrm da}=\cfrac{\mathcal E}{a}\left[-12A_{12}\left(\cfrac{r_0}{a}\right)^{12}+6A_6\left(\cfrac{r_0}{a}\right)^{6}\right]\implies\]

2  ^??

Рассчитайте численное значение $A_6$, учитывая влияние:

1. ближайших соседей на расстоянии $\le a$,
2. ближайших соседей на расстоянии $\le\sqrt2 a$ и
3. ближайших соседей на расстоянии $\le\sqrt 3 a$.

1. Необходимо учесть влияние 6 атомов, расстояние до которых равно $1\implies$

2. Необходимо учесть влияние ещё 12 атомов, расстояние до которых равно $\sqrt2$, т.е. $A''_6=A'_6+12/2^3\implies$

3. Наконец, нужно учесть влияние ещё 8 атомов, расстояние до которых равно $\sqrt3$, т.е. $A'''_6=A''_6+8/3^3\implies$

Учитывая, как быстро сходится эта сумма, $A'''_6$ уже можно считать довольно хорошим приближением для $A_6$.

3  ^?? Найдите угловую частоту $\omega_E$ малых колебаний атомов кристаллической решётки в модели Эйнштейна. В ответ могут входить величины $a$, $r_0$, $M$, $\mathcal E$ и $A_n$.

Пусть атом сместился на небольшое расстояние $\vec u$. Чтобы найти потенциальную энергию взаимодействия атома с решёткой, вычислим в общем виде величину $\sum'|\vec R_{l_xl_yl_z}-\vec u|^{-n}$. Разложим сначала до второго порядка величину:\[|\vec R-\vec u|^{-n}=\left|R^2-2\vec R\cdot\vec u+u^2\right|^{-n/2}=R^{-n}\left(1-2\cfrac{\vec R\cdot\vec u}{R^2}+\cfrac{u^2}{R^2}\right)^{-n/2}=\\=R^{-n}\left[1-\cfrac n2\left(-2\frac{\vec R\cdot\vec u}{R^2}+\frac{u^2}{R^2}\right)+\cfrac{1}{2}\cfrac{-n}{2}\left(-\cfrac n2-1\right)\left(-2\frac{\vec R\cdot\vec u}{R^2}+\frac{u^2}{R^2}\right)^2+\ldots\right]=\\=R^{-n}\left[1+n\frac{\vec R\cdot\vec u}{R^2}-\frac n2\frac{u^2}{R^2}+\cfrac{n(n+2)}{2}\left(\frac{\vec R\cdot\vec u}{R^2}\right)^2+\ldots\right].\]Далее, поскольку\[\sum'\cfrac{l_x}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\sum'\cfrac{l_y}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\sum'\cfrac{l_z}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=0\\\sum'\cfrac{l_xl_y}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\sum'\cfrac{l_yl_z}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\sum'\cfrac{l_zl_x}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=0\\\sum'\cfrac{l_x^2}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\sum'\cfrac{l_y^2}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\sum'\cfrac{l_z^2}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\cfrac{1}{3}\sum'\cfrac{l_x^2+l_y^2+l_z^2}{\left(l_x^2+l_y^2+l_z^2\right)^{n/2}}=\frac{1}{3}A_{n-2}\implies\\\implies\sum'|\vec R_{l_xl_yl_z}-\vec u|^{-n}=A_na^{-n}-\cfrac{n}{2}A_{n+2}a^{-n-2}u^2+\cfrac{n(n+2)}{6}A_{n+2}a^{-n-2}u^2=A_na^{-n}+\cfrac{n(n-1)}{6}A_{n+2}a^{-n-2}u^2.\]Тогда потенциальная энергия взаимодействия атома и решётки:\[V=\mathcal Er_0^{12}\left(A_{12}a^{-12}+\cfrac{12\cdot11}{6}A_{14}a^{-14}u^2\right)-\mathcal Er_0^{6}\left(A_{6}a^{-6}+\cfrac{6\cdot5}{6}A_{8}a^{-8}u^2\right)=V_0+\mathcal E\left(22A_{14}\frac{r_0^{12}}{a^{14}}-5A_8\cfrac{r_0^6}{a^8}\right)u^2=V_0+\frac{1}{2}M\omega_E^2u^2\implies\]

4  ^?? Найдите молярную теплоёмкость кристалла $C_V$ в модели Эйнштейна.

Энергия атома в терминах импульса $p$ и смещения $u$ записывается в виде:\[E(p,u)=V_0+\cfrac{p^2}{2M}+\cfrac{1}{2}M\omega_E^2u^2.\]Средняя энергия атома в решётке будет равна:\[\bar E=\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}Ee^{-E/k_BT}~4\pi p^2\mathrm dp~4\pi u^2\mathrm du}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-E/k_BT}~4\pi p^2\mathrm dp~4\pi u^2\mathrm du}=V_0+\cfrac{1}{2M}\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\frac{p^2}{2Mk_BT}}~p^4\mathrm dp}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\frac{p^2}{2Mk_BT}}~p^2\mathrm dp}+\cfrac{1}{2}M\omega_E^2\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\frac{M\omega_E^2u^2}{2k_BT}}~u^4\mathrm du}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\frac{M\omega_E^2u^2}{2k_BT}}~u^2\mathrm du}=V_0+2k_BT\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}~x^4\mathrm dx}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}~x^2\mathrm dx}.\]Поскольку $\displaystyle\int\limits_0^{\infty}e^{-x^2}~x^2\mathrm dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^\infty e^{-x^2}~\mathrm dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$ и $\displaystyle\int\limits_0^{\infty}e^{-x^2}~x^4\mathrm dx=\frac{3}{2}\displaystyle\int\limits_0^{\infty}e^{-x^2}~x^2\mathrm dx=\frac{3\sqrt{\pi}}{8}$, то средняя энергия одного атома будет равна\[\bar E=V_0+3k_BT.\]Тогда молярная теплоёмкость\[C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=N_A\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\implies\]

5  ^?? Получите выражение для температуры плавления кристалла $T_M$. В ответ могут входить величины $M$, $a$, $\omega_E$ и $k_B$.

Среднее по модулю отклонение атома равно:\[\bar u=\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}ue^{-E/k_BT}~4\pi p^2\mathrm dp~4\pi u^2\mathrm du}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-E/k_BT}~4\pi p^2\mathrm dp~4\pi u^2\mathrm du}=\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\frac{M\omega_E^2u^2}{2k_BT}}~u^3\mathrm du}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\frac{M\omega_E^2u^2}{2k_BT}}~u^2\mathrm du}=\sqrt{\cfrac{2k_BT}{M\omega_E^2}}\cdot\cfrac{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}~x^3\mathrm dx}{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}~x^2\mathrm dx}.\]Поскольку $\displaystyle\int\limits_0^{\infty}e^{-x^2}~x^3\mathrm dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^\infty e^{-y}~y\mathrm dy=\frac{1}{2}\cdot 1!=\frac{1}{2}$, то\[\bar u=\sqrt{\cfrac{2k_BT}{M\omega_E^2}}\cdot\cfrac{1/2}{\sqrt\pi/4}=2\sqrt{\cfrac{2k_BT}{\pi M\omega_E^2}}.\]При температуре плавления $\bar u_M=C_La\implies$