Чёрные дыры — это экзотические объекты, предсказываемые общей теорией относительности. Свойства чёрной дыры полностью описываются тремя величинами: её массой $M$, моментом импульса $J$ и электрическим зарядом $Q$. Для чёрной дыры с нулевым зарядом и моментом импульса (так называемой чёрной дыры Шварцшильда) можно определить сферическую поверхность радиуса $r$, материя изнутри которой не может попасть наружу. Эта поверхность называется горизонтом событий.

В рамках механики Ньютона горизонт событий соответствует поверхности, на которой вторая космическая скорость равна скорости света. Скоростью света в вакууме равна $c=3\cdot10^8~м/с$, гравитационная постоянная равна $G=6.67\cdot10^{-11}~\cfrac{м^3}{кг\cdot с^2}$, масса Солнца — $M=2\cdot10^{30}~кг$.

1 Получите выражение для радиуса горизонта событий чёрной дыры и вычислите его для чёрной дыры солнечной массы.

Полученное в предыдущем пункте выражение в точности совпадает с результатом, который предсказывает общая теория относительности. В теории Бекенштейна и Хокинга энтропия чёрной дыры $S$ пропорциональна площади $A$ горизонта событий:\[S=\frac{k_Bc^3}{4G\hbar},\]где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $k_B$ — постоянная Больцмана.

Пусть две чёрные дыры массой $M$ сливаются в одну чёрную дыру массой $M' < 2M$.

2 Найдите изменение энтропии такой системы. В ответ не должна входить величина $A$.

Внутренняя энергия чёрной дыры $U$, её энтропия $S$ и температура $T$ связаны фундаментальным термодинамическим соотношением $\mathrm dU=T~\mathrm dS$. В рамках теории относительности энергия внутренняя энергия чёрной дыры равна $U=Mc^2$.

3 Получите выражения для зависимости температуры $T$ чёрной дыры и её теплоёмкости $C$ от массы $M$.

4 Используя две чёрные дыры массами $M_{10}$ и $M_{20} > M_{10}$ в качестве нагревателя и холодильника тепловой машины Карно, найдите максимальную работу $W$, которую может совершить такая тепловая машина.

Теория Хокинга также предсказывает электромагнитное излучение чёрных дыр (т.н. излучение Хокинга). Спектр этого излучения совпадает со спектром излучения чёрного тела. Постоянная Стефана—Больцмана известна и равна $\sigma$.

5 Найдите зависимость мощности $P$ излучения Хокинга от массы чёрной дыры $M$.

Излучение Хокинга приводит к уменьшению энергии чёрной дыры, т.е. к уменьшению её массы. Пусть начальная масса чёрной дыры равна $M_0$.

6 Через какое время $t_f$ эта чёрная дыра «испарится»?