1  ^?? Получите выражение для радиуса горизонта событий чёрной дыры и вычислите его для чёрной дыры солнечной массы.

Гравитационный потенциал чёрной дыры:\[V(r)=-\frac{GM}{r}.\]Вторая космическая скорость задаётся уравнением:\[\frac{1}{2}v_{\mathrm{II}}^2-\frac{GM}{r}=0\implies v_{\mathrm{II}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}.\]Подставляя $v_{\mathrm{II}}=c$, получаем:

2  ^?? Найдите изменение энтропии такой системы. В ответ не должна входить величина $A$.

Подставляя $A=4\pi r^2$ и выражение для $r$ из предыдущего пункта:\[S=\frac{k_Bc^3}{4G\hbar}A=\frac{k_Bc^3}{4G\hbar}4\pi r^2=\frac{\pi k_Bc^3}{G\hbar}\left(\frac{2GM}{c^2}\right)^2=\frac{4\pi k_BGM^2}{c\hbar}\implies\]

3  ^?? Получите выражения для зависимости температуры $T$ чёрной дыры и её теплоёмкости $C$ от массы $M$.

\[\frac{1}{T}=\frac{\mathrm dS}{\mathrm dU}=\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dM}\left(\frac{4\pi k_BGM^2}{c\hbar}\right)=\frac{8\pi k_BGM}{c^3\hbar}\implies\]

Теплоёмкость удобнее всего вычислить как:\[C=T\frac{\mathrm dS}{\mathrm dT}=T\frac{\mathrm dS}{\mathrm dM}\frac{\mathrm dM}{\mathrm dT}=T\frac{8\pi k_BGM}{c\hbar}\frac{-c^3\hbar}{8\pi k_B GT^2}\implies\]

Теплоёмкость получилась отрицательной. Это означает, что чёрные дыры должны быть термодинамически нестабильными.

4  ^?? Используя две чёрные дыры массами $M_{10}$ и $M_{20} > M_{10}$ в качестве нагревателя и холодильника тепловой машины Карно, найдите максимальную работу $W$, которую может совершить такая тепловая машина.

Соотношение между количеством теплоты, полученным в бесконечно малом цикле Карно одной из чёрных дыр, и количеством теплоты, отданным другой, имеет вид:\[\frac{\mathrm dQ_2}{\mathrm dQ_1}=\frac{T_2}{T_1}.\]Поскольку\[\mathrm dQ_1=-\mathrm d(M_1c^2),\quad \mathrm dQ_2=\mathrm d(M_2c^2),\]а также $T\propto\cfrac{1}{M}$, то\[\frac{\mathrm dM_2}{\mathrm dM_1}=-\frac{T_2}{T_1}=-\frac{M_1}{M_2}\implies M_1^2+M_2^2=\operatorname{const}=M_{10}^2+M_{20}^2.\]Минимум внутренней энергии в такой системе будет достигнут, когда одна из чёрных дыр испарится, т.е., не умаляя общности, когда\[M_1=0\implies W=U_i-U_f\implies\]

Альтернативно можно заметить, что энтропия системы чёрных дыр не должна меняться в таком процессе, откуда закон сохранения суммы квадратов масс получается простой подстановки выражения для энтропии из пункта 2.

5  ^?? Найдите зависимость мощности $P$ излучения Хокинга от массы чёрной дыры $M$.

Мощность излучения чёрного тела:\[P=\sigma T^4A=4\pi\sigma\left(\frac{2GM}{c^2}\right)^2\left(\frac{c^3\hbar}{8\pi k_BGM}\right)^4\implies\]

6  ^?? Через какое время $t_f$ эта чёрная дыра «испарится»?

Скорость «испарения» чёрной дыры:\[-c^2\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}=P=\frac{c^6\hbar}{15360\pi G^2M^2}\implies -M^2~\mathrm dM=\frac{c^4\hbar}{15360\pi G^2}~\mathrm dt\implies\]