Если магнитные монополи существуют, то их поле удовлетворяет аналогу закона Кулона:\[B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{g}{r^3}\vec r,\]где $g$ — магнитный заряд, $\mu_0$ — магнитная проницаемость вакуума, а $\vec r$ — радиус-вектор из монополя в точку наблюдения. Однако, в рамках классического электромагнетизма магнитные монополи невозможны, и экспериментально они тоже пока что не были обнаружены.
В 1931 году Поль Дирак предложил простую модель магнитного монополя (струну Дирака). Он предложил последовательно выстроить бесконечно малые магнитные диполи $\mathrm d\vec m=g\,\mathrm d\vec l$ в линию, приходящую из бесконечности в некоторую точку (рис. 1). Такая система будет создавать магнитное поле, эквивалентное полю точечного магнитного заряда $g$, находящегося в этой точке. Струну Дирака также можно рассматривать как очень тонкий полубесконечный соленоид.
Корректное рассмотрение струны Дирака требует введения векторного потенциала магнитного поля. В классической теории электромагнетизма можно показать, что вектор магнитной индукции $\vec B(\vec r)$ может быть выражен как ротор некоторого другого вектора $\vec A(\vec r)$:\[\vec B=\operatorname{rot}\vec A,\quad т.е.\quad \iint\limits_S\left(\vec B\cdot\mathrm d\vec S\right)=\oint\limits_L\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right),\]где $S$ — некоторая поверхность, а $L$ — ограничивающий её контур (положительные направления для них выбираются по правилу правого винта). Наконец, можно показать, что векторный потенциал точечного магнитного диполя $\vec m$ равен:\[\vec A(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\left[\vec m\times\vec r\right]}{r^3},\]где $\vec r$ — радиус-вектор из диполя в точку наблюдения.
Рассмотрим струну Дирака, совпадающую с отрицательной половиной оси $z$ (рис. 2). Магнитный заряд на её конце равен $g$.
1 Получите выражение для векторного потенциала $\vec A$ этой струны Дирака во всём пространстве. Ответ приведите в полярных координатах $(r,\theta,\varphi)$ $(0 < \theta < \pi)$.
Подсказка:\[\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3}}}}={\frac{x}{a^{2}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}}+\operatorname{const}.\]
Рассмотрим контур $L$, заданный в сферических координатах как $(r,\theta)=\operatorname{const}$ (рис. 2).
2
Вычислите циркуляцию векторного потенциала $\Gamma_L\equiv\displaystyle\oint\limits_L\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)$ по этому контуру и поток магнитного поля $\Phi_L\equiv\displaystyle\iint\limits_S\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)$ через поверхность $S$, которую этот контур ограничивает.
Пусть теперь эта струна Дирака моделируется полубесконечным соленоидом, по которому течёт низкочастотный переменный ток\[I(t)=I_0\cos\omega t.\]Площадь поперечного сечения соленоида равна $S$, плотность намотки — $n$.
Опыт Ааронова—Бома показывает, что магнитные эффекты могут возникать даже в областях, где магнитная индукция равна нулю, если там отличен от нуля векторный потенциал $\vec A$. Это позволяет придать потенциалу $\vec A$ не только математический, но и физический смысл. В опыте исследуется интерференция свободных электронов на двойной щели (рис. 4). Расстояние между щелями равно $d$, расстояние между щелями и экраном — $D\gg d$, а шириной самих щелей можно пренебречь. Посередине между щелями помещён тонкий бесконечный соленоид с сечением $S$ и плотностью намотки $n$. Импульс электронов, испускаемых источником, равен $p$, а их заряд равен $-e$ ($e > 0$).
Считайте известным, что волновой вектор электрона с импульсом $\vec p$ в векторном потенциале $\vec A$ равен:\[\vec k=\frac{1}{\hbar}\left(\vec p-e\vec A\right),\]где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка.
