1  ^?? Получите выражение для векторного потенциала $\vec A$ этой струны Дирака во всём пространстве. Ответ приведите в полярных координатах $(r,\theta,\varphi)$ $(0 < \theta < \pi)$.

Подсказка:\[\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3}}}}={\frac{x}{a^{2}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}}+\operatorname{const}.\]

2  ^?? Вычислите циркуляцию векторного потенциала $\Gamma_L\equiv\displaystyle\oint\limits_L\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)$ по этому контуру и поток магнитного поля $\Phi_L\equiv\displaystyle\iint\limits_S\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)$ через поверхность $S$, которую этот контур ограничивает.

\[\mathrm d\vec l=\hat\varphi\cdot\mathrm dl=\hat\varphi\cdot r\sin\theta\,\mathrm d\varphi\implies \left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)=\frac{\mu_0g}{4\pi}(1-\cos\theta)\,\mathrm d\varphi\implies\]

\[\mathrm d\vec S=2\rho\,\mathrm d\rho\cdot\hat z\implies\mathrm d\Phi=2\rho\,\mathrm d\rho\cdot\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{g}{|\vec r|^3}\left(\vec r\cdot\hat z\right)=\frac{\mu_0g}{2}\frac{\rho\,\mathrm d\rho}{\left(\rho^2+r^2\cos^2\theta\right)^{3/2}}r\sin\theta\implies\\\implies\Phi_L=\frac{\mu_0g}{2}r\cos\theta\int\limits_0^{r\sin\theta}\frac{\rho\,\mathrm d\rho}{\left(\rho^2+r^2\cos^2\theta\right)^{3/2}}=-\frac{\mu_0g}{2}r\cos\theta\left.\frac{1}{\sqrt{\rho^2+r^2\cos^2\theta}}\right|_0^{r\sin\theta}\implies\]

3  ^?? Сравните полученные результаты. Если они отличаются, объясните это различие.

Подсказка: удобно рассматривать струну Дирака как тонкий соленоид.

4  ^?? Найдите эквивалентный магнитный заряд $g(t)$ в начале координат.

\[g=\frac{\mathrm dm}{\mathrm dl}=\frac{SI(t)\cdot n\,\mathrm dl}{\mathrm dl}\implies\]

5  ^?? Найдите среднюю тепловую мощность $W_R$, выделяющуюся в треугольнике. Самоиндукцией треугольника и излучением пренебрегите.

Подсказка: рассмотрите телесный угол, под которым треугольник виден из начала координат.

Телесный угол, под которым треугольник виден из начала координат, найти несложно. Заметим, что треугольник находится на том же расстоянии от начала координат, на котором грань тетраэдра с ребром $a$ находится от центра этого тетраэдра. Значит\[\Omega_\Delta=\frac{4\pi}{4}=\pi.\]Тогда поток, создаваемый магнитным зарядом, будет равен\[\Phi_1=-\frac{1}{4}\mu_0g.\]Поток внутри соленоида при этом равен\[\Phi_0=\mu_0g\implies\Phi=\Phi_0+\Phi_1=\frac{3}{4}\mu_0g.\]ЭДС, создаваемая в треугольнике:\[\mathcal E=-\dot\Phi=\frac{3}{4}\mu_0nSI_0\omega\sin\omega t.\]Полное сопротивление треугольника $3aR_0\implies$\[W_R=\frac{1}{3aR_0}\overline{\mathcal E^2(t)}=\frac{1}{3aR_0}\left(\frac{3}{4}\mu_0nSI_0\omega\right)^2\cdot \overline{\sin^2\omega t}\quad\overset{\overline{\sin^2\omega t}=1/2}\implies\]

6  ^?? На какое расстояние $\Delta x$ сместится главный максимум интерференционной картины на экране, если ток в соленоиде увеличить от $0$ до $I$?

Пусть разность фаз интерферирующих волновых функций в некоторой точке экрана до включения тока равна $\Delta\phi_0$. Тогда после включения тока:\[\Delta\phi_1=\int\limits_{C_1}\left(\vec k\cdot\mathrm d\vec l\right)-\int\limits_{C_2}\left(\vec k\cdot\mathrm d\vec l\right)=\frac{1}{\hbar}\left[\int\limits_{C_1}\left(\vec p\cdot\mathrm d\vec l\right)-\int\limits_{C_2}\left(\vec p\cdot\mathrm d\vec l\right)\right]-\frac e\hbar\left[\int\limits_{C_1}\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)+\int\limits_{-C_2}\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right)\right]=\Delta\phi_0-\frac e\hbar\oint\limits_C\left(\vec A\cdot\mathrm d\vec l\right),\]где $C_1$ и $C_2$ — пути от каждой из щелей до экрана, а $C$ — контур вокруг соленоида. Поскольку циркуляция векторного потенциала по контуру равна потоку через него, то включение тока приводит к дополнительной разности фаз:\[\Delta\phi=\Delta\phi_1-\Delta\phi_0=-\frac e\hbar\Phi=-\frac e\hbar\mu_0nIS.\]Смещение вдоль экрана на $x$ приводит к изменению разности фаз на:\[\Delta\phi_x\approx k_0d\theta=\frac p\hbar\cdot d\cdot\frac xD.\]Наконец, смещение главного максимума определяется соотношением:\[\Delta\phi_x+\Delta\phi=0\implies \frac{pd}{\hbar D}\Delta x-\frac e\hbar\mu_0nIS=0\implies\]