Результаты приведены для эксперимента с авторской установкой, которая отличалась массой пустой бутылки и маркой проволоки.
Подвесим пустую бутылку к измерительному стенду с помощью куска проволоки большей длины и выставим стрелку в некоторое положение (см. рисунок). Обратим внимание, что изначально куски проволоки скручены в витки, и вследствие этого могут проявлять нелинейность растяжения по нагрузке. Проверим, что колесико свободно вращается, не касаясь транспортира и головки винта. Начнём наливать в бутылку воду с помощью шприца порциями по $20~\text{мл}$, измеряя при этом угол $\varphi$ отклонения стрелки.
$\varphi,~^\circ$ $V,~\text{мл}$ $F,~\text{Н}$ $\varepsilon$ 35 0 0,18 0,00000 37 20 0,37 0,00013 37 40 0,57 0,00013 39 60 0,76 0,00025 40 80 0,96 0,00031 42 100 1,16 0,00044 43 120 1,35 0,00050 45 140 1,55 0,00063 46 160 1,74 0,00069 48 180 1,94 0,00082 50 200 2,14 0,00094 51 220 2,33 0,00101 53 240 2,53 0,00113 54 260 2,72 0,00120 56 280 2,92 0,00132
В представленной таблице расчёт растягивающей силы $F$ и относительного удлинения $\varepsilon$ произведён по формулам $F=\rho V g+m_0 g$, $\varepsilon = \frac{\pi}{180^\circ}\frac{(\varphi - \varphi_0) r}{L}$, где $\varphi_0$ – начальный угол отклонения стрелки. Построенный график $\varepsilon$ от $F$ имеет линейный вид в пределах погрешности.
Погрешность определения силы составляет $\Delta F=\frac{0.5~\text{мл}}{20~\text{мл}} \cdot F$, погрешность определения относительного удлинения составляет $\Delta \varepsilon= \frac{\pi}{180^\circ} \frac{1^\circ \cdot r}{L}=6 \cdot 10^{-5}$.
Наблюдаемый сдвиг по оси $F$ может быть обусловлен наличием силы трения между колесиком и осью. Угловой коэффициент сглаживающей прямой $k_1=1/{(ES)}=(0.50 \pm 0.03) \cdot 10^{-3}\ \text{Н}^{-1}$, где $S=\pi d^2/{4}$, тогда модуль Юнга $E =1/{(k_1S)}=(113 \pm 7)~\text{ГПа}$. В работе используется неизолированная медная проволока. Табличное значение модуля Юнга для меди $E_\textrm{Cu}=118~\text{ГПа}$.
\[E =(113 \pm 7)~\text{ГПа.}\]
Подвесим к свободному концу куска длинной проволоки пустую бутылку и затем нальём небольшое количество воды $(\approx 100~\text{мл})$. Это надо для того, чтобы преодолеть зону застоя, связанную с наличием трения в оси колёсика. Соберем электрическую цепь, схема которой изображена на рисунке.
Подключим кусок проволоки, амперметр и источник последовательно. Параллельно с куском проволоки подключим мультиметр в режиме вольтметра.
Возможные хорошие варианты:
Первое измерение проведем при температуре проволоки близкой к комнатной (при малых значениях сил токов). При этом используем мультиметр в режиме "200 mА".
Посмотрим, как меняется длина медной проволоки при пропускании через неё "амперных токов". Для этого переведём амперметр в режим "10 А". Далее, увеличивая напряжение на источнике, измеряем угол поворота стрелки $\varphi$, силу тока $I$ на амперметре и напряжение $U$ на вольтметре в режиме "нагревания" (увеличения силы тока) и "остывания" (уменьшения силы тока).
Последнее измерение проводим опять при температуре проволоки близкой к комнатной. При этом используем мультиметр в режиме "200 mА".
$\varphi,~^\circ$ $I,~A$ $U,~\text{В}$ ${\Delta R}/{R_0}$ $\varepsilon$ 36 0,0824 0,0858 0,00 0,00000 Нагревание 39 0,75 0,837 0,07 0,00019 40 0,86 0,965 0,08 0,00025 42 1,07 1,252 0,12 0,00038 44 1,21 1,438 0,14 0,00050 46 1,35 1,649 0,17 0,00063 47 1,45 1,803 0,19 0,00069 49 1,56 1,984 0,22 0,00082 51 1,66 2,16 0,25 0,00094 53 1,73 2,30 0,28 0,00107 55 1,83 2,48 0,30 0,00120 60 2,02 2,71 0,29 0,00151 Остывание 59 1,93 2,67 0,33 0,00145 57 1,76 2,31 0,26 0,00132 55 1,62 2,09 0,24 0,00120 53 1,51 1,901 0,21 0,00107 51 1,37 1,68 0,18 0,00094 48 1,18 1,401 0,14 0,00076 45 0,99 1,132 0,10 0,00057 44 0,82 0,927 0,09 0,00050 40 0,0442 0,0473 0,03 0,00025
Исследуемая температурная зависимость сопротивления определяется формулой $R=R_0(1+ \alpha \Delta t)$, поэтому $\Delta R/{R_0} = (R-R_0)/{R_0}=\alpha \Delta t$, где $R_0$ – начальное сопротивление. Такой же вид и у зависимости относительного удлинения проволоки от температуры: $\varepsilon={\Delta l}/{l}= \beta \Delta t$. А значит график зависимости $\varepsilon$ от ${\Delta R}/{R_0}$ будет линейным.
Сопротивление $R$ будем рассчитывать по формуле $R={U}/{I}$, а относительное удлинение $\varepsilon$ $-$ по формуле $\varepsilon = ({\pi}/{180^\circ})\cdot{(\varphi - \varphi_0) r}/{L}$.
Погрешность относительного удлинения находим по формуле $\Delta \varepsilon = ({\pi}/{180^\circ})\cdot 1^\circ \cdot r/{L}=6 \cdot 10^{-5}$, погрешность $\Delta R_0=\left({\Delta I_0}/{I_0} + {\Delta U_0}/{U_0}\right)R_0 = 0.007~\text{Ом}$. Погрешность для $\Delta R$ находим аналогично, в результате чего погрешность значения $R - R_0$ оказывается порядка $0.04~\text{Ом}$. Основной вклад в погрешность данной величины дает погрешность амперметра в режиме "10 А".
На графике приведены линейные участки снятых зависимостей. Отчётливо виден гистерезис, связанный с изменением направления силы трения в колесике при смене режима "нагревания" на режим "остывания". При этом угловые коэффициенты $k_\text{наг}=(4.3 \pm 0.4) \cdot 10^{-3}$, $k_\text{ост}=(4.4 \pm 0.4) \cdot 10^{-3}$ совпадают в пределах погрешности. В рамках используемой модели угловой коэффициент графика должен быть равен $\beta/\alpha$. Для его нахождения усредним $k_\text{наг}$ и $k_\text{ост}$:
\[\frac{\beta}{\alpha}=\frac{k_\text{наг}+k_\text{ост}}{2}=(4.4 \pm 0.4) \cdot10^{-3}. \]Чем больше масса подвешенного груза, тем сильнее проявляется гистерезис, и при правильном выборе объема воды налитого в бутылку ($V>60~\text{мл}$) он всегда проявляется. При этом $\frac{k_\text{наг}+k_\text{ост}}{2}$ остается постоянным.
Возможно выбрать другие координаты, линеаризующие снятую зависимость. Считая мощность теплопотерь $W_\text{пот}$ пропорциональной разности температур $\Delta t$ между проволокой и внешней средой: $W_\text{пот} = k_\text{пот} \Delta t$, можем записать уравнение теплового баланса $IU = W_\text{пот} = k_\text{пот} \Delta t$. Таким образом, зависимость относительного удлинения $\varepsilon$ от $IU$ должна быть линейной.
На этом графике также отчётливо виден гистерезис, связанный с изменением направления силы трения в колесике при смене режима "нагревания" на режим "остывания". Угловые коэффициенты тоже совпадают в пределах погрешности.
Для определения коэффициента $\beta$ нужно использовать соотношение $\beta/\alpha$, найденное описанным выше методом. Независимо найдем температурный коэффициент сопротивления $\alpha$.
Исследуем, как зависит сопротивление медной проволоки от температуры. Для этого поместим короткий кусок проволоки в горячую воду, температуру которой измерим термометром. Подадим на проволоку небольшое напряжение от источника порядка $200~\text{мВ}$. Далее снимем значения силы тока в цепи и напряжения на концах куска проволоки от температуры воды.
Для определения сопротивления через проволоку пропустим "небольшой" ток (в диапазоне до $200 \text{ мА}$). Силу тока измерим "миллиамперметром", а напряжение на концах проволоки – "милливольтметром". Обратим внимание, что сопротивление проволоки при длине $l=1 ~\text{м}$ составляет порядка $1 ~\text{Ом}$, в связи с чем амперметр нельзя считать идеальным.
Выданная проволока неизолированная, так что при помещении её в воду важно, чтобы не было касания (т.е. электрического контакта) друг с другом витков проволоки. Если допустить контакты между витками проволоки, то они могут смещаться при наливании воды, меняя сопротивление проволоки.
Этого можно добиться, например, сделав в маленьком стаканчике отверстия канцелярской кнопкой и пропустив через них проволоку. Обратим внимание, что сопротивление проволоки не меняется при помещении её в воду комнатной температуры.
Полученную систему опустим в большой стакан с горячей водой. Не меняя значение напряжения на источнике, снимем значения силы тока $I$ и напряжения $U$ на концах куска проволоки при разных температурах воды $t$. Для расчёта $R_0$ используем данные, полученные при практически комнатной температуре.
Как уже говорилось ранее, температурная зависимость сопротивления определяется формулой $R=R_0(1+ \alpha \Delta t)$, поэтому в координатах ${\Delta R}/{R_0}$ от $t$ график должен быть линейным.
Погрешность $t$ составляет $0.3^\circ\text{C}$, погрешность ${\Delta R}/{R_0}$ определяется аналогично прошлому пункту. Отметим, что основной вклад в погрешность вносит погрешность термометра.
$t,^\circ\text{C}$ $U,~\text{мВ}$ $I,~\text{мА}$ ${\Delta R}/{R_0}$ 33,7 46,5 45,2 0,000 Остывание 87,0 51,2 41,9 0,188 85,0 51,1 42,0 0,183 83,0 51,1 42,1 0,180 81,0 50,8 42,3 0,167 79,0 50,6 42,4 0,160 77,0 50,5 42,5 0,155 75,0 50,3 42,6 0,148 73,0 50,0 42,8 0,136 71,0 49,8 42,9 0,128 69,0 49,7 43,0 0,124 67,0 49,6 43,2 0,116 65,0 49,4 43,3 0,109 63,0 49,2 43,4 0,102 61,0 49,1 43,5 0,097 59,0 48,9 43,7 0,088 58,0 48,8 43,7 0,085 57,0 48,6 43,7 0,081 56,0 48,6 43,8 0,079 55,0 48,4 43,9 0,072 54,0 48,4 43,9 0,072 53,0 48,3 43,9 0,069 52,0 48,2 44,0 0,065 51,0 48,0 44,0 0,060 41,5 47,0 44,6 0,024
Пока производим расчёты, вода успевает остыть. Это даёт возможность снять две дополнительных точки при более низких температурах.
С помощью графика, который получился линейным, определяем угловой коэффициент $k_4=(3.60\pm0.06) \cdot 10^{-3}~{^\circ\text{C}}^{-1}$. Этот угловой коэффициент совпадает с температурным коэффициентом сопротивления $\alpha=k_4=(3.60\pm0.06) \cdot 10^{-3}~{^\circ\text{C}}^{-1}$. Табличное значение температурного коэффициента сопротивления для меди: $\alpha_\textrm{Cu}=3.93 \cdot 10^{-3}~{^\circ\text{C}}^{-1}$.
С учётом значения ${\beta}/{\alpha}=(4.4 \pm 0.4) \cdot10^{-3} $, найденного в предыдущем пункте, вычисляем $\beta = (1.7 \pm 0.2) \cdot 10^{-5}~{^\circ\text{C}}^{-1}$ . Табличное значение температурного коэффициента расширения для меди $\beta_\textrm{Cu}=1.7 \cdot 10^{-5}~{^\circ\text{C}}^{-1}$.
\[\beta = (1.7 \pm 0.2) \cdot 10^{-5}~{^\circ\text{C}}^{-1}.\]
Примечание: Температурная зависимость сопротивления определяется не только зависимостью её удельного сопротивления ${\Delta \rho}/{\rho} = \gamma \Delta t$ от температуры но и изменением ее геометрических размеров: ${\Delta l}/{l} = \beta \Delta t$, ${\Delta S}/{S} = {\Delta (r^2)}/{r^2} = {2 r \Delta r}/{r^2} = 2 \beta \Delta t$, так как они все вместе входят в конечную формулу $R = {\rho l}/{S}$. Итого: \[ \frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta \rho}{\rho} + \frac{\Delta l}{l} - \frac{\Delta S}{S} = (\gamma - \beta) \Delta t,\] но в нашем случае $\beta \ll \gamma$, поэтому $\alpha \simeq \gamma$. Учет этих факторов никаким образом не влияет на представленное решение задачи.