Logo
Logo

Мираж

A1  5.00 На каком минимальном расстоянии $L_{min}$ можно увидеть «лужу»? Выразите ответ через $H$, $n_0$, $T_0$, $T_1$, $T_2$ и рассчитайте полученное значение.

Давления атмосферного воздуха и тонкого слоя воздуха вблизи асфальта должны быть одинаковы, поэтому:
$$p=\cfrac{\rho_1RT_1}{\mu}=\cfrac{\rho_2RT_2}{\mu}\Rightarrow \rho_2=\cfrac{\rho_1T_1}{T_2}{<}\rho_2\Rightarrow n_1{<}n_2{.}
$$
Таким образом, показатель преломления воздуха вблизи асфальта меньше, чем у атмосферного воздуха. Тогда эффект видимости лужи определяется полным отражением луча в тонком слое вблизи асфальта.
В критическом случае:
$$n_2=n_1\sin\alpha_\text{кр}=\cfrac{n_1L_{min}}{\sqrt{L^2_{min}+H^2}}{,}
$$
откуда:
$$L_{min}=\cfrac{n_2H}{\sqrt{n^2_1+n^2_2}}=\cfrac{H}{\sqrt{(n_1/n_2)^2-1}}{.}
$$
Определим $n_1/n_2$. Поскольку $n=1+k\rho$, для коэффициента пропорциональности $k$ получим:
$$k=\cfrac{n_0-1}{\rho_0}=\cfrac{(n_0-1)RT_0}{\mu p_0}\Rightarrow n=1+\cfrac{(n_0-1)T_0}{T}{,}
$$
откуда для $n_1/n_2$ имеем:
$$\cfrac{n_1}{n_2}=\cfrac{T_1+(n_0-1)T_0}{T_2+(n_0-1)T_0}\cdot\cfrac{T_2}{T_1}{.}
$$
Окончательно:
$$L_{min}=\cfrac{H}{\sqrt{\left(\cfrac{T_1+(n_0-1)T_0}{T_2+(n_0-1)T_0}\cdot\cfrac{T_2}{T_1}\right)^2-1}}.
$$

Ответ: $$L_{min}=\cfrac{H}{\sqrt{\left(\cfrac{T_1+(n_0-1)T_0}{T_2+(n_0-1)T_0}\cdot\cfrac{T_2}{T_1}\right)^2-1}}\approx 265{.}6~\text{м}
$$