В таблице ниже приведены результаты измерений разности давлений $\Delta P$ в колбе и вне ее от температуры $t,{ }^{\circ}\mathrm{C}$. На рис. 1 показан график полученной зависимости.
| $\Delta P,~мм~рт.~ст.$ | 288 | 262 | 234 | 218 | 190 | 168 | 154 | 138 | 126 | 112 | 100 | 92 | 80 | 74 |
| $t,\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ | 67 | 65 | 62 | 60 | 57 | 54 | 52 | 50 | 48 | 46 | 44 | 42.5 | 40.5 | 39 |
Полученная зависимость нелинейная, поэтому ею нельзя объяснить только изменение температуры газа в колбе.
Основная теоретическая проблема в решении данной задачи состоит в разделении измеренного давления в колбе на парциальные давления сухого воздуха $P_{air }$ и водяного пара $P_{water}$. Так как масса воздуха в колбе и объем самой колбы остаются неизменными, то для расчета давления воздуха можно воспользоваться уравнением
$$\frac{P_{air}}{T}=\frac{P_{air0}}{T_0}=\operatorname{const}\tag{1}$$В условии задачи задано значение давления насыщенных паров воды $P_{water0}=92.6~Па$ при температуре $t_0=50^\circ\mathrm C$. Эти значения позволяют найти постоянную величину в уравнении $(1)$, а затем рассчитать значения парциального давления в измеренном диапазоне температур. Так по результатам измерений при указанной температуре разность давлений равна $\Delta P_0=138~мм\,рт{.} \,ст{.}$, атмосферное давление равнялось $P_{atm}=770~мм\,рт{.} \,ст{.}$,следовательно, парциальное давление сухого воздуха в колбе при этой температуре $\left(T_0=50+273.2=323.2~К\right)$ равнялось
$$P_{air0}=P_{atm}+\Delta P_0-P_{water0}=815.4~мм\,рт{.} \,ст{.}\tag{2}$$Далее из формулы $(1)$ следует, что при температуре $T=\left(t\,[{}^{\circ}\mathrm C]+273.2\right)~К$ парциальное давление сухого воздуха можно рассчитать по формуле $$P_{air}=\frac{P_{air0}}{T_0}T.\tag{3}$$После этого следует найти давление насыщенных паров воды с помощью формулы
$$P_{water}=P_{atm}+\Delta P-P_{air}.\tag{4}$$В таблице ниже приведены результаты необходимых расчетов (жирным шрифтом выделена «нулевая» точка).
| $t,\,{}^\circ\mathrm C$ | $\Delta P,~мм\,рт{.} \,ст{.}$ | $T,K$ | $P_{air},~мм\,рт{.} \,ст{.}$ | $P_{water},~мм\,рт{.} \,ст{.}$ | ${T}^{-1},~К^{-1}$ | $\ln( P_ {water }/Па)$ |
| 67 | 288 | 340 | 858.32 | 199.68 | 0.00294 | 5.3 |
| 65 | 262 | 338 | 853.27 | 178.73 | 0.00296 | 5.19 |
| 62 | 234 | 335 | 845.69 | 158.31 | 0.00299 | 5.06 |
| 60 | 218 | 333 | 840.64 | 147.36 | 0.003 | 4.99 |
| 57 | 190 | 330 | 833.07 | 126.93 | 0.00303 | 4.84 |
| 54 | 168 | 327 | 825.5 | 112.5 | 0.00306 | 4.72 |
| 52 | 154 | 325 | 820.45 | 103.55 | 0.00308 | 4.64 |
| 50 | 138 | 323 | 815.4 | 92.6 | 0.0031 | 4.53 |
| 48 | 126 | 321 | 810.35 | 85.65 | 0.00312 | 4.45 |
| 46 | 112 | 319 | 805.3 | 76.7 | 0.00313 | 4.34 |
| 44 | 100 | 317 | 800.25 | 69.75 | 0.00315 | 4.24 |
| 42.5 | 92 | 315.5 | 796.47 | 65.53 | 0.00317 | 4.18 |
| 40.5 | 80 | 313.5 | 791.42 | 58.58 | 0.00319 | 4.07 |
| 39 | 74 | 312 | 787.63 | 56.37 | 0.00321 | 4.03 |
Для проверки применимости формулы $(3)$ для описания полученной зависимости ее следует линеаризовать, то есть представить в виде
$$\ln P_{water}=\ln P_{water0}+\frac{ML}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right) \tag{5}$$Из этой записи видно, что зависимость логарифма давления $\ln P_{water}$ от величины, обратной абсолютной температуре $T^{-1}$, должна быть линейна. В двух последних столбцах таблицы также показаны эти значения. На рис. 2 построен график полученной зависимости. Отметим, что единицы измерения давления (в данном случае мы оставили $мм\,рт{.} \,ст{.}$) не влияют ни на вид графика, ни на коэффициент его наклона. Определяют только несущественный параллельный сдвиг вдоль вертикальной оси.
Полученная зависимость является линейной, что подтверждает справедливость проверяемой формулы $(3)$ из условия задачи.
Из выражения $(5)$ следует, что коэффициент наклона графика, изображенного на рис. 2 равен
$$K=\frac{\Delta\left(\ln P_{water}\right)}{\Delta\left(T^{-1}\right)}=-\frac{ML}{R}.\tag{6}$$Поэтому удельную теплоту испарения воды можно рассчитать по формуле
$$L=-\frac{KR}{M}.\tag{7}$$Расчет по методу наименьших квадратов приводит к следующему значению коэффициента наклона
$$K=-(4.82\pm0.08)\cdot10^{3}~К\tag{8}$$
Дополнение
