Pho.rs: Теория упругости

A1 ^1.00 Рассмотрите случай деформации всестороннего сжатия, когда все напряжения $\sigma_x$, $\sigma_y$,$\sigma_z$ равны и отрицательны (на брусок действует постоянное давление со всех сторон $P= -\sigma_x=-\sigma_y=-\sigma_z$). Модулем всестороннего сжатия называется величина $K$, которая определяется из соотношения:
\[\frac{\Delta V}{V}= - \frac{P}{K},\]где $V$ – объём бруска. Определите модуль всестороннего сжатия $K$ через $E$ и $\mu$.

1 Логарифмическая производная по объёму	0.50
2 Получен ответ \[K=\frac{E}{3(1-2\mu)}\]	0.30
3 Правильный знак в ответе	0.20

A2 ^1.00 Рассмотрите случай деформации одноосного растяжения. В этом случае однородный стержень может растягиваться или сжиматься только в одном направлении, в направлении оси, которую примите за координатную ось $x$. Поперечные размеры стержня не меняются! (этому мешает окружающая среда). Модулем одностороннего растяжения называется величина $E'$, которая определяется из соотношения:
\[\frac{\Delta l_x}{l_x} =\frac{\sigma_x}{E'} .\]Определите модуль одностороннего растяжения $E'$ через $E$ и $\mu$.

1 Уравнение для оси $x$	0.20
2 Уравнение для оси $y$ или $z$	0.30
3 Получен ответ \[E'=E \frac{1-μ}{(1+μ)(1-2μ)}\]	0.50

B1 ^0.50 Рассмотрите волокно бруса, находящееся на расстоянии $\xi$ от нейтрального сечения (величина $\xi$ положительна, если волокно находится выше нейтрального сечения и отрицательна, если ниже). Найдите удлинение этого волокна $\Delta l(\xi)$. Выразите ответ через $l_0$, $\alpha$, $\xi$.

1 Получен ответ
\[ \Delta l(\xi)=\xi \alpha\]

0.50

B2 ^0.50 Определите натяжение $\tau$, действующее вдоль рассматриваемого волокна. Выразите ответ через модуль Юнга $E$, $\xi$, $\alpha$, $R$, $l_0$.

1 Получен ответ
\[\tau = \frac{E \xi}{R}\]

0.50

B3 ^2.00 Пусть нейтральная линия и нейтральное сечение проходят через центр тяжести поперечного сечения бруса. Тогда сумма сил в одном сечении равно нулю. Выразите в интегральной (интеграл по площади сечения, $dS$ – элемент площади для интегрирования) форме момент сил натяжения действующих на сечение $AB$. Выразите ответ через $E$, $\xi$, $\alpha$, $R$, $l_0$.

1 Получен ответ
\[M = \frac{E}{R} \int \xi^2 dS\]

2.00

B3 ^0.90

Обратите внимание на получившийся в предыдущем пункте интеграл. Введём обозначение $I=\int \xi^2 dS$. Величина $I$ называется моментом инерции поперечного сечения бруса по аналогии с соответствующей величиной, вводимой при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Однако, в отличие от последней величины, имеющей размерность массы умноженной на квадрат длины, $I$ есть чисто геометрическая величина с размерностью четвертой степени длины. Определите $I$ для разных форм поперечных сечений бруса:

Прямоугольное сечение с шириной $w$ и высотой $h$.
Круговое сечение радиуса $r$.
Сечение цилиндрической трубы с внутренним диаметром $r_1$ и наружным $r_2$.

1 Получен ответ для прямоугольного сечения \[ I = \frac{wh^3}{12} \]	0.30
2 Получен ответ для круглого сечения \[ I=\frac{\pi r^4}{4} \]	0.30
3 Получен ответ для цилиндрической трубы: \[I = \frac{\pi (r_2^4-r_1^4)}{64}\]	0.30

С1 ^1.50

Рассмотрите однородный стержень с модулем Юнга $E$ с круговым сечением радиуса $r$ и длиной $l_0$, который лежит на двух симметрично расположенных опорах $C$ и $D$. К концам стержня $A$ и $B$ приложены одинаково направленные силы $F$. Найдите радиус кривизны $R(x)$ изогнутого бруса в каждой его точке по длине (координату $x$ отсчитывайте по неизогнутому стержню от его центра). Выразите ответ через $E$, $F$, $a$, $r$, $l_0$.
Силой тяжести следует пренебречь по сравнению с $F$. Считайте также, что $R \gg l_0$.

1 Постоянный момент внешней силы $M=Fa$ для участка $x<\frac{l_0}{2}-a$	0.20
2 Уравнение моментов для участка $x<\frac{l_0}{2}-a$	0.10
3 Получен ответ для участка $x<\frac{l_0}{2}-a$ \[ R(x) = \frac{E \pi r^4}{4Fa}\]	0.40
4 Уравнение моментов для участка $x>\frac{l_0}{2}-a$	0.30
5 Получен ответ для участка $x>\frac{l_0}{2}-a$ \[ R(x) = \frac{E \pi r^4}{4F\left( \frac{l_0}{2}-x \right)}\]	0.50

C2 ^2.00

Рассмотрите балку с прямоугольным сечением с шириной $w$ и высотой $h$ и длиной $l_0$, жёстко закреплённую в стене одним своим концом (перпендикулярно стене в месте крепления). На другой конец балки действует сосредоточенная сила $F$. Пусть $x$ – координата по длине неизогнутой балки, отсчитываемая от стены, $y(x)$ – отклонение по высоте от неизогнутого положения балки. Определите функцию $y(x)$. Выразите ответ через $E$, $F$, $l_0$, $w$, $h$.
Силой тяжести следует пренебречь по сравнению с $F$. Считайте также, что для любого $x$ выполнено: $y(x) \ll l_0$.

При решении Вам может понадобиться формула для радиуса кривизны линии заданной уравнением $y(x)$: $R=\frac{\left(1+y'(x)^2\right)^{3/2}}{y'' (x)}$.

1 Использовано пренебрежение \[ y'(x) \ll 1\]	0.50
2 Записано дифференциальное уравнение моментов	0.40
3 Дифференциальное уравнение моментов решено	0.50
4 Найдены константы	0.50
5 Получен ответ \[ y(x) = \frac{12F}{Ewh^3} \left( \frac{l_0x^2}{2}-\frac{x^3}{6} \right)\]	0.10

C3 ^0.60 Определите стрелу прогиба балки из пункта С2. Стрелой прогиба называется смещение $\lambda$ свободного конца балки под действием приложенной силы $F$. Выразите ответ через $E$, $F$, $l_0$, $w$, $h$.

1 Получен ответ
\[y(l_0) = \frac{4Fl_0^3}{Ewh^3}\]

0.60

Теория упругости

Разбалловка