Pho.rs: Эффективный цикл

A1 ^0.50 Выразите молярную теплоёмкость используемого газа в изобарном процессе $C_P$ и в изохорном процессе $C_V$ через $R$ и $\gamma$.

1 Получены ответы:$$C_V = \frac{R}{\gamma - 1},$$ $$C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.$$

2 × 0.25

A2 ^0.50 Выразите отношения $p_2/p_1$ и $V_2/V_1$ (обозначения рис. 1) через $T$, $t_1$ и $t$.

1 Из уравнения состояния получено: $$\frac{PV}{T} = const.$$	0.20
2 Получены ответы: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T}{T-t_1},$$ $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T-t_1}{T-t}.$$	2 × 0.15

A3 ^1.00 Выразите работу $A_г$ через $\nu$, $R$, $T$, $t_1$ и $t$.

1 Получено выражение через давления и объёмы: $$A_г = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1).$$	0.50
2 Ответ выражен через требуемые величины: $$A_г = \frac{\nu R t_1 (t-t_1)}{T-t_1}.$$	0.50

A4 ^0.50 Определите $\chi$ в момент, когда температура газа равна $T-\tau$. Ответ выразите через $\tau$, $T$.

1 Для цикла Карно записано: $$\frac{Q_-}{Q_+} = \frac{T_-}{T_+}.$$	0.30
2 Получен итоговый ответ: $$\chi = \frac{T-\tau}{\tau}.$$	0.20

A5 ^1.50 Определите $A_{хм}$. Ответ выразите через $\nu$, $R$, $\gamma$, $T$, $t_1$ и $t$.

1 Тепло, забираемое у газа для изменения его температуры на $ \text{d}\tau$ при теплоёмкости $C$: $$\delta Q_- = \nu C \text{d}\tau.$$	0.20
2 Работа для изменения температуры газа на $d\tau$ при его теплоёмкости $C$: $$\delta A_{хм} = \nu C\frac{\tau \text{d}\tau}{T-\tau}$$	0.30
3 Работа для изобарного и изохорного процессов охлаждения: $$A_{хм}' = \nu C_V\left( T \ln\left(\frac{T}{T-t_1} \right) -t_1\right),$$$$A_{хм}'' = \nu C_P \left(T \ln \left(\frac{T-t_1}{T-t}\right) - (t-t_1)\right).$$	2 × 0.30
4 Итоговый ответ: $$A_{хм} = \frac{\nu R}{\gamma -1}\left(\gamma T \ln \left (\frac{T-t_1}{T-t} \right) -\gamma (t-t_1) + T \ln \left(\frac{T}{T-t_1}\right) - t_1\right).$$	0.40

A6 ^1.00 Выразите $\eta$ для описанной системы через $x$, $\gamma$ и $y$. Вычислите его значение для $\gamma = 5/3$, $x=0.5$, $y=0.5$.

1 Получен ответ через требуемые величины: $$\eta = \frac{xy^2(1-x)(\gamma - 1)}{(1-xy)\left(\gamma \ln \left(\frac{1-xy}{1-y}\right) - \gamma y (1-x) + \ln \left(\frac{1}{1-xy}\right)-xy\right)}.$$	0.70
2 Получено численное значение: $$\eta = 0.187.$$	0.30

A7 ^1.00 Найдите зависимость $\eta(x)$ при $y \ll 1$ . Ответ выразите через $\gamma$ и $x$.

При необходимости вы можете использовать формулу: $\ln \left(1+\xi \right) \approx \xi - \xi^2/2$ при $\xi\ll1$.

1 Получен ответ:
$$\eta(x) = \frac{2x(1-x)(\gamma - 1)}{\gamma - x^2(\gamma - 1)}.$$

1.00

A8 ^1.00 Определите, при каком $x$ эффективность $\eta$ будет максимальна. Ответ выразите через $\gamma$.

1 Найдена производная исследуемой функции: $$\eta'(x) = 2(\gamma-1)\cdot\frac{(1-2x)(\gamma - x^2(\gamma-1))+2x^2(1-x)(\gamma-1)}{(\gamma - x^2(\gamma - 1))^2}.$$	0.40
2 Получено уравнение: $$x^2(\gamma-1)-2\gamma x+\gamma = 0.$$	0.20
3 Выбран правильный корень уравнения.	0.20
4 Получен ответ: $$x = \frac{\gamma - \sqrt{\gamma}}{\gamma - 1}.$$	0.20

A9 ^1.00 Найдите максимально возможную эффективность $\eta_{max}$. Ответ выразите через $\gamma$. Вычислите ее значение для $\gamma = 5/3$.

1 Получен ответ через $\gamma$: $$\eta_{max} = 1-\frac{1}{\sqrt{\gamma}}.$$	0.60
2 Получен численный ответ: $$\eta_{max} = 0.225.$$	0.40

Эффективный цикл

Разбалловка