Logo
Logo

Эффективный цикл

A1  0,50 Выразите молярную теплоёмкость используемого газа в изобарном процессе $C_P$ и в изохорном процессе $C_V$ через $R$ и $\gamma$.

Для идеального газа имеем $$\gamma = \frac{C_P}{C_V}$$
$$C_P-C_V = R$$

Ответ: $$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$$ $$C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$$

A2  0,50 Выразите отношения $p_2/p_1$ и $V_2/V_1$ (обозначения рис. 1) через $T$, $t_1$ и $t$.

Так как процесс совершается над фиксированным количеством идеального газа, то из уравнения состояния:
$$\frac{p_1V_1}{T-t} = \frac{p_1V_2}{T-t_1} = \frac{p_2V_2}{T} = \nu R$$
Отсюда получим:

Ответ: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T}{T-t_1}$$ $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T-t_1}{T-t}$$

A3  1,00 Выразите работу $A_г$ через $\nu$, $R$, $T$, $t_1$ и $t$.

Работа газа за один цикл численно равна площади цикла в координатах $PV$. Используя результаты А2: $$A_г = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) = p_1V_1 \left(\frac{p_2}{p_1} - 1\right)\left(\frac{V_2}{V_1}-1\right) = \frac{\nu R t_1 (t-t_1)}{T-t_1}$$

Ответ: $$A_г = \frac{\nu R t_1 (t-t_1)}{T-t_1}$$

A4  0,50 Определите $\chi$ в момент, когда температура газа равна $T-\tau$. Ответ выразите через $\tau$, $T$.

Для тепловой машины, работающей по циклу Карно, известно соотношение: $$\frac{Q_-}{Q_+} = \frac{T_-}{T_+}$$ В случае обратного цикла Карно $Q_-$ — теплота, полученная от холодильника температурой $T_-$, $Q_+$ — теплота, отданная нагревателю температурой $T_+$.

В данной задаче газ в исследуемом цикле холоднее окружающей среды, поэтому он является холодильником, а окружающая среда — нагревателем. Таким образом, $T_- = T - \tau,~T_+ = T$

Помимо этого, в силу первого начала термодинамики: $$Q_+ = Q_- + A_{хм} $$ Отсюда для холодильного коэффициента имеем $$\chi = \frac{Q_-}{Q_+ - Q_-} = \frac{T_-}{T_+ - T_-} = \frac{T-\tau}{\tau}$$

Ответ: $$\chi = \frac{T-\tau}{\tau}$$

A5  1,50 Определите $A_{хм}$. Ответ выразите через $\nu$, $R$, $\gamma$, $T$, $t_1$ и $t$.

По условию изменением температуры газа за один цикл Карно можно пренебречь, поэтому для одного цикла Карно имеем: $$\delta A_{хм} = \frac{\delta Q_-}{\chi} = \frac{\tau }{T-\tau}\delta Q_-$$ где температура газа равна $T-\tau$.

В исследуемом цикле тепло от газа отводится при изохорном и изобарном охлаждении. В случае изохорного охлаждения:
$$\delta Q_-' = \nu C_V \text{d}\tau \\
\delta A_{хм}' = \nu C_V \frac{\tau \text{d}\tau}{T-\tau}\\
A_{хм}' = \nu C_V \int_0^{t_1} \frac{\tau \text{d}\tau}{T-\tau}= \nu C_V \left(T\int_0^{t_1}\frac{\text{d}\tau}{T-\tau}-\int_0^{t_1}\text{d}\tau \right) = \nu C_V\left( T \ln\left(\frac{T}{T-t_1} \right) -t_1\right)$$
Для изобарного охлаждения: $$\delta A_{хм}'' = \nu C_P \frac{\tau \text{d}\tau}{T-\tau}\\
A_{хм}'' = \nu C_p \int_{t_1}^t \frac{\tau \text{d}\tau}{T-\tau} = \nu C_P \left(T \ln \left(\frac{T-t_1}{T-t}\right) - (t-t_1)\right)$$
Подставив $C_V, C_P$:

Ответ: $$A_{хм} = \frac{\nu R}{\gamma -1}\left(\gamma T \ln \left (\frac{T-t_1}{T-t} \right) -\gamma (t-t_1) + T \ln \left(\frac{T}{T-t_1}\right) - t_1\right)$$

A6  1,00 Выразите $\eta$ для описанной системы через $x$, $\gamma$ и $y$. Вычислите его значение для $\gamma = 5/3$, $x=0.5$, $y=0.5$.

Ответ: $$\eta = \frac{xy^2(1-x)(\gamma - 1)}{(1-xy)\left(\gamma \ln \left(\frac{1-xy}{1-y}\right) - \gamma y (1-x) + \ln \left(\frac{1}{1-xy}\right)-xy\right)} \approx 0.187$$

A7  1,00 Найдите зависимость $\eta(x)$ при $y \ll 1$ . Ответ выразите через $\gamma$ и $x$.

При необходимости вы можете использовать формулу: $\ln \left(1+\xi \right) \approx \xi - \xi^2/2$ при $\xi\ll1$.

Разложим логарифмы в знаменателе до второго порядка:
$$\ln \left(\frac{1-xy}{1-y}\right) = \ln(1-xy) - \ln(1-y) \approx -xy -\frac{x^2y^2}{2} + y + \frac{y^2}{2}\\
\ln \left( \frac{1}{1-xy}\right) = - \ln(1-xy) \approx xy + \frac{x^2y^2}{2}$$
Приводя подобные и сокращая на $y^2$:
$$\eta \approx \frac{2x(1-x)(\gamma - 1)}{(1-xy)(\gamma - x^2(\gamma - 1))}$$
Слагаемое $xy$ в знаменателе можно отбросить в силу $y \ll 1$

Ответ: $$\eta(x) = \frac{2x(1-x)(\gamma - 1)}{\gamma - x^2(\gamma - 1)}$$

A8  1,00 Определите, при каком $x$ эффективность $\eta$ будет максимальна. Ответ выразите через $\gamma$.

Приравнивая производную к нулю, получаем:
$$(1-2x)(\gamma - x^2(\gamma-1)) = 2x^2(1-x)(1-\gamma)$$
Приводя подобные:
$$x^2(\gamma-1)-2\gamma x+\gamma = 0$$
Корень со знаком «+» приводит к $x > 1$, что соответствует отрицательной температуре газа. Поэтому:

Ответ: $$x = \frac{\gamma - \sqrt{\gamma}}{\gamma - 1}\approx 0.56$$

A9  1,00 Найдите максимально возможную эффективность $\eta_{max}$. Ответ выразите через $\gamma$. Вычислите ее значение для $\gamma = 5/3$.

Подставив найденный в пункте А8 $x$ и приводя подобные:

Ответ: $$\eta_{max} = 1-\frac{1}{\sqrt{\gamma}} \approx 0.225$$