Pho.rs: Разматывающаяся лента

A1 ^1.20 Примем за ноль потенциальную энергию системы в поле тяжести Земли $W_p$ в начальном положении. Определите зависимость потенциальной энергии $W_p$ от массы $m$. Ответ выразите через $M$, $\lambda$, $g$ и $m$.

1 Propagation Error отсутствует, если не сказано иное
2 Длина неподвижной части ленты $x = (M-m)/\lambda$	0.30
3 \[ W_p = -mgx - (M-m)gx/2 \]	0.60
4 Ответ:\[ W_p = -\frac{(M^2-m^2)g}{2\lambda} \]	0.30

A2 ^0.80 Выразите кинетическую энергию $E_k$ данной системы через $m$ и $v$ при $m \gg \lambda R$ (здесь $R$ — неизвестный радиус цилиндра).

1 M1 Записана теорема Кёнига: \[E_k = \frac{mv_{CM}^2}{2} + E_{k(отн)}\]	0.30
2 M1 $$E_{k(отн)} = mv^2/2$$	0.30
3 M2 Использована формула для кинетической энергии твердого тела: \[E_k = \frac{I\omega^2}{2},\] где $I$ — момент инерции относительно мгновенной оси вращения, $\omega$ — угловая скорость тела	0.30
4 M2 $$I = 2mR^2$$	0.30
5 Ответ: \[ E_k = mv^2 \]	0.20

A3 ^0.40 Получите зависимость скорости $v$ движения оси цилиндра от массы $m$. Ответ выразите через $M$, $\lambda$, $g$ и $m$.

1 $$E_k + E_p = 0$$	0.20
2 Ответ: \[ v=\sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}\left(\cfrac{M^2}{m}-m\right)} \]	0.20

A4 ^0.40 Определите зависимость импульса $p$ данной системы от массы $m$. Ответ выразите через $M$, $\lambda$, $g$ и $m$.

1 $$p=mv$$	0.20
2 Ответ: \[ p=\sqrt{\cfrac{g\left(M^2m-m^3\right)}{2\lambda}} \]	0.20

A5 ^1.50 Определите зависимость ускорения $a$ оси цилиндра от массы $m$. Ответ выразите через $g$, $M$ и $m$.

1 \[ a = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} (v^2)}{\mathrm{d} x} \]	0.70
4 Ответ: \[ a=\cfrac{g}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right)\] Propagation Error: балл за ответ ставится, если ускорение $a(m)$ верно получено из скорости $v(m)$, найденной в $\mathrm{A3}$	0.80

A6 ^1.60 Определите зависимость силы натяжения $T_1$ ленты в точке её крепления к вертикальной стенке от массы $m$. Ответ выразите через $g$, $ M$ и $m$.

1 Записан закон изменения импульса в проекции на вертикальную ось: \[ \cfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}=Mg-T_1 \]	0.30
2 \[ \cfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} = \cfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} m} \cdot \cfrac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} \]	0.20
3 \[ \cfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} m} = \sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}}\cdot\cfrac{(M^2-3m^2)}{2\sqrt{M^2m-m^3}} \] Propagation Error: балл за пункт ставится, если $\mathrm{d}p/\mathrm{d}m$ верно получено из импульса $p(m)$, найденного в $\mathrm{A4}$	0.60
4 \[ \cfrac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} = -\lambda v \]	0.20
5 Ответ: \[ T_1=Mg+\cfrac{(M^2-3m^2)g}{4m} \] Propagation Error: балл за ответ ставится, если: выражение для $T_1$ верно получено из $\mathrm{d}p/\mathrm{d}m$ $\mathrm{d}p/\mathrm{d}m$ верно получено из импульса $p(m)$, найденного в $\mathrm{A4}$	0.30

A7 ^0.80 Определите зависимость силы натяжения ленты $T_O$ в точке, в которой вертикальный участок ленты касается цилиндра, от массы $m$. Ответ выразите через $g$, $M$ и $m$.

1 $ T_O=T_1-(M-m)g $ или $T_O = mg - \mathrm{d}p/\mathrm{d}t$. Первое равенство оценивается, только когда оно получено из верных соображений	0.40
2 Ответ: \[ T_O=\cfrac{mg}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right) \] Propagation Error: балл за ответ ставится, если $T_O$ верно получена из $T_1$	0.40

B1 ^1.70 Запишите условие, связывающее силу натяжения $T_O$, скорость $v$ и линейную плотность $\lambda$, при котором лента не отрывается от поверхности цилиндра. Считайте силу натяжения ленты постоянной по всей длине первого оборота лентой цилиндра. Также считайте выполненным соотношение $v^2 \gg gR$.

1 Упоминаются все реальные силы, действующий на сегмент первого оборота ленты, который виден под углом $\mathrm{d} \varphi$ из центра цилиндра: сила тяжести сила нормальной реакции две силы натяжения	0.50
2 Учтено влияние ускорения центра цилиндра (учтена сила инерции в неинерциальной СО, либо верно выражено ускорение участка $\mathrm{d} \varphi$ в лабораторной СО)	0.40
3 Записан Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление с учетом приближений из условия: \[ T\mathrm{d}\varphi - \mathrm{d}N = \lambda v^2 \mathrm{d} \varphi \]	0.60
4 Ответ: \[ T_O > \lambda v^2 \]	0.20

B2 ^0.40 При каком значении $m_c$ лента начинает отрываться от поверхности цилиндра? Ответ выразите через $M$.

1

Ответ: \[ m_c = \cfrac{M}{\sqrt{3}} \]

Propagation Error: баллы за ответ ставятся, если:

Указано, что в критическом случае $\lambda v^2 = T_O$
Масса $m_c$ верно получена из $T_O$

0.40

B3 ^1.20 Определите значения $T_1(m_c)$, $ T_O(m_c)$ и $a(m_c)$. Ответы выразите через $M$ и $g$.

1 Propagation Error: баллы за ответы в $\mathrm{B3}$ и $\mathrm{B4}$ ставятся, если: Указано, что в критическом случае $\lambda v^2 = T_O$ Значение $m_c$, найденное в $\mathrm{B2}$, верно подставлено в соответствующие формулы, полученные в части $\mathrm{A}$
2 \[ a(m_c)=g \]	0.40
3 \[ T_1(m_c)=Mg \]	0.40
4 \[T_O(m_c)=\cfrac{Mg}{\sqrt{3}}\]	0.40

B4 ^0.40 Определите значение $v(m_c)$. Ответ выразите через $M$, $g$ и $\lambda$.

1 \[ v(m_c)=\sqrt{\cfrac{Mg}{\lambda\sqrt{3}}} \]

0.40

B5 ^1.60 Какие значения может принимать $v(m_c)$ при фиксированной длине ленты $L$, если к указанному моменту она не успевает полностью размотаться? Ответ выразите через $g$ и $L$.

1 \[\lambda < M/L\]	0.30
2 \[\lambda > (M-m_c)/L\]	0.50
3 Ответ для границ диапазона возможных значений скорости: \[v_{m_c}\in\left(\sqrt{\cfrac{gL}{\sqrt{3}}}{~}{;}{~}\sqrt{\cfrac{gL}{\sqrt{3}-1}}\right)\]	2 × 0.40

Разматывающаяся лента

Разбалловка