Длина $x$ размотавшейся части ленты составляет:
$$x=\cfrac{M-m}{\lambda}{.}
$$Тогда для потенциальной энергии $W_p$ получим:
$$W_p=-(M-m)g\cdot\cfrac{x}{2}-mgx=-\cfrac{(M+m)gx}{2}\Rightarrow W_p=-\cfrac{(M^2-m^2)g}{2\lambda}{.} $$

Кинетической энергией обладают только цилиндр и находящаяся на нём часть ленты. Данная система представляет собой однородной тонкостенный цилиндр массой $m$. Из теоремы Кёнига имеем:
$$E_k=\cfrac{mv^2}{2}+E_{k(\text{отн})}{.}
$$где $E_{k(\text{отн})}$ – кинетическая энергия данной системы в системе отсчёта, связанной с её центром масс.

Поскольку лента нерастяжима, точка $O$ касания её вертикального участка и цилиндра неподвижна. Тогда угловая скорость цилиндра равна $\omega=v/R$, где $R$ – радиус цилиндра. Отсюда в системе отсчёта центра масс имеем:
$$E_{k(\text{отн})}=\cfrac{m\omega^2R^2}{2}=\cfrac{mv^2}{2}\Rightarrow E_k=mv^2{.}
$$

Из результатов пунктов $\mathrm{A1}$ и $\mathrm{A2}$ находим:

Импульс системы $p=mv$, поэтому:

Для ускорения оси цилиндра имеем:
$$a=\cfrac{dv}{dt}=\cfrac{dv}{dx}\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{vdv}{dx}=\cfrac{1}{2}\cfrac{d(v^2)}{dx}{.}
$$Таким образом:
$$a=-\cfrac{g}{4\lambda}\left(\cfrac{M^2}{m^2}+1\right)\cfrac{dm}{dx}\Rightarrow a=\cfrac{g}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right){.}
$$

Из теоремы о движении центра масс:
$$\cfrac{dp}{dt}=Mg-T_1{.}
$$Таким образом:
$$T_1=Mg-\cfrac{dp}{dt}=Mg-\sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}}\cdot\cfrac{(M^2-3m^2)}{2\sqrt{M^2m-m^3}}\cfrac{dm}{dt}=Mg+\sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}}\cdot\cfrac{(M^2-3m^2)\lambda v}{2\sqrt{M^2m-m^3}}{.}
$$Подставляя $v$, находим:

Поскольку вертикальный участок ленты неподвижен, для силы её натяжения в точке $O$ имеем:
$$T_O=T_1-(M-m)g\Rightarrow T_O=\cfrac{mg}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right){.}
$$

Перейдём в поступательно движущуюся систему отсчёта, связанную с осью цилиндра. В данной системе отсчёта элементы ленты движутся по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$. На них действуют сила натяжения ленты $T$, силы трения, сила нормальной реакции поверхности, а также сила тяжести и сила инерции, возникающая из-за перехода в неинерциальную систему отсчёта.

Нормальное ускорение элементов ленты равно $a_n=v^2/R$. Поскольку $v^2\gg gR$, а ускорение оси цилиндра того же порядка, что и $g$, силой тяжести и силой инерции можно пренебречь, поскольку $a_n\gg{g}$.

Выделим на поверхности цилиндра элемент ленты с углом охвата $d\varphi$. Пусть действующая на него сила нормальной реакции равна $dN$, а сила натяжения ленты на рассматриваемом участке равна $T$. Тогда из второго закона Ньютона для выделенного элемента ленты в проекции на направление нормали получим:
$$Td\varphi-dN=a_ndm=\cfrac{v^2}{R}\cdot \lambda Rd\varphi=\lambda v^2d\varphi{.}
$$Условие отсутствия отрыва составим в том, что $dN> 0$. Тогда имеем:
$$T>\lambda v^2{.}
$$Но поскольку $T\approx T_O$:

Найдём значения $m$, при которых условия отсутствия отрыва выполняется:
$$T_O=\cfrac{mg}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right)>\lambda v^2=\cfrac{mg}{2}\left(\cfrac{M^2}{m^2}-1\right)\Rightarrow m<\cfrac{M}{\sqrt{3}}{.}
$$Таким образом:

Подставляя $m_c$, получим:

После подстановки $m_c$ получим:

Поскольку лента полностью не разматывается к моменту отрыва, её масса составляет не меньше, чем $M(1-1/\sqrt{3})$ и не больше, чем $M$. Тогда её линейная плотность лежит в пределах:
$$\cfrac{M}{L}\left(1-\cfrac{1}{\sqrt{3}}\right)<\lambda<\cfrac{M}{L}{.}
$$Таким образом: