Logo
Logo

Разматывающаяся лента

A1  1,20 Примем за ноль потенциальную энергию системы в поле тяжести Земли $W_p$ в начальном положении. Определите зависимость потенциальной энергии $W_p$ от массы $m$. Ответ выразите через $M$, $\lambda$, $g$ и $m$.

Длина $x$ размотавшейся части ленты составляет:
$$x=\cfrac{M-m}{\lambda}{.}
$$
Тогда для потенциальной энергии $W_p$ получим:
$$W_p=-(M-m)g\cdot\cfrac{x}{2}-mgx=-\cfrac{(M+m)gx}{2}\Rightarrow W_p=-\cfrac{(M^2-m^2)g}{2\lambda}{.} $$

Ответ: $$ W_p=-\cfrac{(M^2-m^2)g}{2\lambda} $$

A2  0,80 Выразите кинетическую энергию $E_k$ данной системы через $m$ и $v$ при $m \gg \lambda R$ (здесь $R$ — неизвестный радиус цилиндра).

Кинетической энергией обладают только цилиндр и находящаяся на нём часть ленты. Данная система представляет собой однородной тонкостенный цилиндр массой $m$. Из теоремы Кёнига имеем:
$$E_k=\cfrac{mv^2}{2}+E_{k(\text{отн})}{.}
$$
где $E_{k(\text{отн})}$ — кинетическая энергия данной системы в системе отсчёта, связанной с её центром масс.

Поскольку лента нерастяжима, точка $O$ касания её вертикального участка и цилиндра неподвижна. Тогда угловая скорость цилиндра равна $\omega=v/R$, где $R$ — радиус цилиндра. Отсюда в системе отсчёта центра масс имеем:
$$E_{k(\text{отн})}=\cfrac{m\omega^2R^2}{2}=\cfrac{mv^2}{2}\Rightarrow E_k=mv^2{.}
$$

Ответ: $$ E_k=mv^2 $$

A3  0,40 Получите зависимость скорости $v$ движения оси цилиндра от массы $m$. Ответ выразите через $M$, $\lambda$, $g$ и $m$.

Из результатов пунктов $\mathrm{A1}$ и $\mathrm{A2}$ находим:

Ответ: $$v=\sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}\left(\cfrac{M^2}{m}-m\right)} $$

A4  0,40 Определите зависимость импульса $p$ данной системы от массы $m$. Ответ выразите через $M$, $\lambda$, $g$ и $m$.

Импульс системы $p=mv$, поэтому:

Ответ: $$p=\sqrt{\cfrac{g\left(M^2m-m^3\right)}{2\lambda}}
$$

A5  1,50 Определите зависимость ускорения $a$ оси цилиндра от массы $m$. Ответ выразите через $g$, $M$ и $m$.

Для ускорения оси цилиндра имеем:
$$a=\cfrac{dv}{dt}=\cfrac{dv}{dx}\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{vdv}{dx}=\cfrac{1}{2}\cfrac{d(v^2)}{dx}{.}
$$
Таким образом:
$$a=-\cfrac{g}{4\lambda}\left(\cfrac{M^2}{m^2}+1\right)\cfrac{dm}{dx}\Rightarrow a=\cfrac{g}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right){.}
$$

Ответ: $$a=\cfrac{g}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right)$$

A6  1,60 Определите зависимость силы натяжения $T_1$ ленты в точке её крепления к вертикальной стенке от массы $m$. Ответ выразите через $g$, $ M$ и $m$.

Из теоремы о движении центра масс:
$$\cfrac{dp}{dt}=Mg-T_1{.}
$$
Таким образом:
$$T_1=Mg-\cfrac{dp}{dt}=Mg-\sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}}\cdot\cfrac{(M^2-3m^2)}{2\sqrt{M^2m-m^3}}\cfrac{dm}{dt}=Mg+\sqrt{\cfrac{g}{2\lambda}}\cdot\cfrac{(M^2-3m^2)\lambda v}{2\sqrt{M^2m-m^3}}{.}
$$
Подставляя $v$, находим:

Ответ: $$T_1=Mg+\cfrac{(M^2-3m^2)g}{4m}
$$

A7  0,80 Определите зависимость силы натяжения ленты $T_O$ в точке, в которой вертикальный участок ленты касается цилиндра, от массы $m$. Ответ выразите через $g$, $M$ и $m$.

Поскольку вертикальный участок ленты неподвижен, для силы её натяжения в точке $O$ имеем:
$$T_O=T_1-(M-m)g\Rightarrow T_O=\cfrac{mg}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right){.}
$$

Ответ: $$T_O=\cfrac{mg}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right)
$$

B1  1,70 Запишите условие, связывающее силу натяжения $T_O$, скорость $v$ и линейную плотность $\lambda$, при котором лента не отрывается от поверхности цилиндра. Считайте силу натяжения ленты постоянной по всей длине первого оборота лентой цилиндра. Также считайте выполненным соотношение $v^2 \gg gR$.

Перейдём в поступательно движущуюся систему отсчёта, связанную с осью цилиндра. В данной системе отсчёта элементы ленты движутся по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$. На них действуют сила натяжения ленты $T$, силы трения, сила нормальной реакции поверхности, а также сила тяжести и сила инерции, возникающая из-за перехода в неинерциальную систему отсчёта.

Нормальное ускорение элементов ленты равно $a_n=v^2/R$. Поскольку $v^2\gg gR$, а ускорение оси цилиндра того же порядка, что и $g$, силой тяжести и силой инерции можно пренебречь, поскольку $a_n\gg{g}$.

Выделим на поверхности цилиндра элемент ленты с углом охвата $d\varphi$. Пусть действующая на него сила нормальной реакции равна $dN$, а сила натяжения ленты на рассматриваемом участке равна $T$. Тогда из второго закона Ньютона для выделенного элемента ленты в проекции на направление нормали получим:
$$Td\varphi-dN=a_ndm=\cfrac{v^2}{R}\cdot \lambda Rd\varphi=\lambda v^2d\varphi{.}
$$
Условие отсутствия отрыва составим в том, что $dN> 0$. Тогда имеем:
$$T>\lambda v^2{.}
$$
Но поскольку $T\approx T_O$:

Ответ: $$ T_O>\lambda v^2
$$

B2  0,40 При каком значении $m_c$ лента начинает отрываться от поверхности цилиндра? Ответ выразите через $M$.

Найдём значения $m$, при которых условия отсутствия отрыва выполняется:
$$T_O=\cfrac{mg}{4}\left(1+\cfrac{M^2}{m^2}\right)>\lambda v^2=\cfrac{mg}{2}\left(\cfrac{M^2}{m^2}-1\right)\Rightarrow m<\cfrac{M}{\sqrt{3}}{.}
$$
Таким образом:

Ответ: $$m_c=\cfrac{M}{\sqrt{3}}
$$

B3  1,20 Определите значения $T_1(m_c)$, $ T_O(m_c)$ и $a(m_c)$. Ответы выразите через $M$ и $g$.

Подставляя $m_c$, получим:

Ответ: $$ a(m_c)=g $$
Ответ: $$ T_1(m_c)=Mg $$
Ответ: $$ T_O(m_c)=\cfrac{Mg}{\sqrt{3}} $$

B4  0,40 Определите значение $v(m_c)$. Ответ выразите через $M$, $g$ и $\lambda$.

После подстановки $m_c$ получим:

Ответ: $$v(m_c)=\sqrt{\cfrac{Mg}{\lambda\sqrt{3}}}
$$

B5  1,60 Какие значения может принимать $v(m_c)$ при фиксированной длине ленты $L$, если к указанному моменту она не успевает полностью размотаться? Ответ выразите через $g$ и $L$.

Поскольку лента полностью не разматывается к моменту отрыва, её масса составляет не меньше, чем $M(1-1/\sqrt{3})$ и не больше, чем $M$. Тогда её линейная плотность лежит в пределах:
$$\cfrac{M}{L}\left(1-\cfrac{1}{\sqrt{3}}\right)<\lambda<\cfrac{M}{L}{.}
$$
Таким образом:

Ответ: $$v_{m_c}\in\left(\sqrt{\cfrac{gL}{\sqrt{3}}}{~}{;}{~}\sqrt{\cfrac{gL}{\sqrt{3}-1}}\right)
$$