В процессе движения $\phi$ изменяется от $0$ до $2\pi$. $\phi(-\infty)=0$, а $\phi(+\infty)=a\pi/2$ $\Rightarrow a=4$. Для нижней точки можем записать:
\[
\dot \varphi(t)=\frac{4 b e^{bt}}{1+e^{2bt}}=\frac{\sqrt{4 g L}}{L},
\]
откуда при $t=0$ получаем $b=\sqrt{g/L}=\omega_0$.

\[
I \frac{\partial^2 \varphi_i}{\partial t^2}=-m g d \sin {\varphi_i}+K(\varphi_{i+1}+\varphi_{i-1}-2\varphi_{i}).
\]
Так как $\lambda\gg b$, то можем написать $K(\varphi_{i+1}+\varphi_{i-1}-2\varphi_{i})\approx Kb^2 (\partial^2 \varphi/\partial x^2)$. Таким образом, уравнение движения для $\varphi(x,t)$:

Так как $\varphi(x,t)=\varphi(x\pm vt)$, то $(\partial^2 \varphi/\partial x^2)=(1/v^2)(\partial^2 \varphi/\partial t^2)$, а значит
\[
\left(\frac{K b^2}{v^2}-I\right) \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}=m g d \sin {\varphi}.
\]
Для существования солитоноподобного решения, описанного в части A, необходимо, чтобы $(Kb^2/v^2-I)>0$.

Если $\lambda$ - характерный размер солитона, то $\tau=\lambda/v$ - характерное время, за которое он проходит отметку. Так как $\phi$ в заданной точке зависит лишь от $\omega t$, то $\lambda \sim (v/\omega)$. Из уравнения (4) находим, что
\[
\omega=\sqrt{\frac{mgd}{(\frac{Kb^2}{v^2}-I)}} \sim \sqrt{\frac{1}{\frac{v_{cr}^2}{v^2}-1}}.
\]
Отсюда получаем, что $\lambda \sim \sqrt{v_{cr}^2-v^2}$, а значит

Полная энергия солитона
\[
E=\sum_{i} \frac{I\ddot \varphi_i^2}{2}+\sum_{i} \frac{K(\varphi_{i+1}-\varphi_i)^2}{2}+\sum_{i} m g d(1-\cos{\varphi_i}) \sim \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon d x,
\]
где
\[
\varepsilon=\frac12\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^2\frac{(I v^2+K b^2)}{b}+\frac{m g d}{b}(1-\cos{\varphi}).
\]
плотность энергии. Если $\lambda$ - характерный размер солитона, то
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^2 dx \sim \frac{1}{\lambda}
\]
и
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} (1-\cos{\varphi}) dx \sim \lambda.
\]
Рассмотрим покоящийся солитон. Тогда $E_0=\dfrac{A}{\lambda_0}+B \lambda_0$, где $A$ и $B$ - некоторые константы. Так как энергия для покоящегося солитона должна принимать минимальное значение, то
\[
-\frac{A}{\lambda_0^2}+B=0,
\]
т.е. $\lambda_0=\sqrt{B/A}$. Для солитона движущегося со скоростью $v$ энергия запишется в виде
\[
E=\frac{A}{\lambda}\frac{I v^2+K b^2}{K b^2}+B \lambda=\frac{A}{\lambda_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{v_{cr}^2}}}(\frac{v^2}{v_{cr}^2}+1)+B \lambda_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{v_{cr}^2}}=\frac{\frac{A}{\lambda_0}(\frac{v^2}{v_{cr}^2}+1)+B \lambda_0 (1-\frac{v^2}{v_{cr}^2})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{v_{cr}^2}}}.
\]
Используя то, что $A/\lambda_0=B\lambda_0$ и $(A/\lambda_0)+B \lambda_0=E_0$, получаем

Из энергетических соображений a) отталкиваются b) притягиваются.

Заметим, что угол $\varphi(x,t=0)=4 \arctan {e^{\pm \omega x/v}}$ при больших (по модулю) значениях x равен $4 e^{-\omega |x|/v}$. Значит, учитывая то, что
\[
\frac{\omega}{v}=\frac{1}{v} \sqrt{\frac{mgd}{(\frac{Kb^2}{v^2}-I)}}=\sqrt{\frac{mgd}{(Kb^2-Iv^2)}},
\]
плотность энергии для покоящегося солитона в удаленных точках
\[
\varepsilon=\frac{Kb}2\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2+\frac{m g d}{b}(1-\cos{\phi})\approx \frac{Kb}2\frac{\omega_0^2}{v^2}(\varphi)^2+\frac{m g d}{2b}(\varphi)^2=16\frac{mgd}{b}e^{-\sqrt{\frac{mgd}{Kb^2}}x}\sim e^{-2x/l},
\]
где $l=\sqrt{\frac{mgd}{Kb^2}}$. Таким образом плотность энергии спадает экспоненциально быстро с расстоянием. Поэтому, когда мы имеем два солитона, влияние одного на плотность энергии другого существенно только начиная с середины дистанции между ними. Для нахождения силы воспользуемся методом виртуальных перемещений: $F \Delta x \approx \varepsilon_M \Delta x$, где $\varepsilon_M\approx\varepsilon(R/2)$ - характерная плотность энергии на "границе влияния". Таким образом заключаем, что сила взаимодействия экспоненциально спадает с расстоянием, и в ведущем члене $F \sim e^{-R/l}$.