У торца вертикально расположенного длинного соленоида на тонком немагнитном листе лежит соосно с соленоидом круглое тонкое кольцо из сверхпроводника (см. рисунок).

В начальном состоянии сила тока $I_{c}$ в витках соленоида и сила тока $I$ в кольце равны нулю.
При протекании по виткам соленоида тока вблизи торца возникает неоднородное магнитное поле. Вертикальную $B_{z}$ и радиальную $B_{r}$ составляющие вектора магнитной индукции $\vec{B}$ в некоторой ближней области можно приближённо задать с помощью соотношений
$$
B_{z}=B_{0}(1-\alpha z), \quad B_{r}=B_{0} \beta r
$$
где $\alpha$ и $\beta$ - некоторые константы, а $B_{0}$ определяется силой тока в соленоиде. По виткам соленоида начинают пропускать ток силой $I_{c}$, постепенно увеличивая его значение.
Определите:

1 Критическое значение силы тока $I_{0}$ в соленоиде, при котором кольцо начинает подниматься над опорой.

2 Положение (высоту) кольца над опорой при $I_{c}=2 I_{0}$.

3 Частоту колебаний сверхпроводящего кольца при $I_{c}=2 I_{0}$ (если кольцо сместить из положения равновесия на малое расстояние $\Delta z$, не нарушая осевую симметрию).

Данные для числовых расчётов: $\alpha=36~м^{-1}$, $\beta=18~м^{-1}$, масса кольца $m=100~мг$, коэффициент самоиндукции кольца $L=1.8 \cdot 10^{-8}~Гн$, площадь кольца $S=1~см^{2}$, магнитная постоянная $\mu_{0}=1.257 \cdot 10^{-6}~Гн/м$, плотность намотки соленоида $n=10^{3}$ витков на метр.