1  ^?? Критическое значение силы тока $I_{0}$ в соленоиде, при котором кольцо начинает подниматься над опорой.

Магнитное поле $B_{0}$ (при $z=0$) у торца длинного соленоида равно половине значения поля магнитной индукции внутри соленоида вдали от торцов:
$$
B_{0}=\frac{1}{2} \mu_{0} I_{\mathrm{c}} n.
$$
Пусть кольцо расположено на некотором расстоянии $z$ от торца. Результирующий магнитный поток $\Phi=B_{z} S+L I=B_{0}(1-\alpha z) S+L I$, где $I$ - сила тока в кольце. Сверхпроводящее кольцо сохраняет магнитный поток. Из начальных условий $\Phi=0$. Следовательно,
$$
I(z)=-\frac{B_{0}(1-\alpha z) S}{L}.
$$
Знак «ー» указывает на то, что ток в кольце протекает в направлении, противоположном току в витках соленоида. Следовательно, кольцо будет отталкиваться от соленоида. Сила Ампера, действующая на кольцо, направлена вверх:
$$
F_{z}=F_{A}-m g=|I(z)| B_{r} 2 \pi r_{0}-m g=\frac{B_{0}^{2}(1-\alpha z) S^{2}}{L} 2 \beta-m g.
$$
Условие равновесия кольца $F_{z}=0$, то есть
$$
B_{0}^{2}(1-\alpha z)=\frac{m g L}{2 \beta S^{2}}, \quad \text { или } \quad\left(\frac{1}{2} \mu_{0} I_{c} n\right)^{2}(1-\alpha z)=\frac{m g L}{2 \beta S^{2}}.
$$

При $z=0$ критическое значение $B_{0}^{2}=\frac{m g L}{2 \beta S^{2}}$ и, следовательно,
$$
I_{с}=I_{0}=\sqrt{\frac{m g L}{2 \beta}} \frac{2}{S \mu_{0} n}=11.1~А.
$$
При таком токе кольцо начинает подниматься над опорой.

2  ^?? Положение (высоту) кольца над опорой при $I_{c}=2 I_{0}$.

При $I_{с}>I_{0}$ кольцо висит над опорой (левитирует) на некотором расстоянии $z=z_{0}$ (без нарушения осевой симметрии). В этом случае
$$
\left(1-\alpha z_{0}\right)=\left(\frac{I_{0}}{I_{\mathrm{c}}}\right)^{2},
$$
откуда
$$
z_{0}=\frac{1}{\alpha}\left(1-\left(\frac{I_{0}}{I_{\mathrm{c}}}\right)^{2}\right).
$$
При условии $I_{с}=2 I_{0}$ расстояние
$$
z_{0}=\frac{3}{4 \alpha}=2.08~см.
$$

3  ^?? Частоту колебаний сверхпроводящего кольца при $I_{c}=2 I_{0}$ (если кольцо сместить из положения равновесия на малое расстояние $\Delta z$, не нарушая осевую симметрию).

В этом случае $I_{с}=2 I_{0}=\mathrm{const}$, а магнитная индукция $B_{0}=\mu_{0} I_{0} n$. При малом смещении $\Delta z$ кольца из положения равновесия
$$
F_{z}=\frac{B_{0}^{2}\left(1-\alpha z_{0}\right) S^{2}}{L} 2 \beta-\frac{B_{0}^{2} \alpha \Delta z S^{2}}{L} 2 \beta-m g=-\frac{2 \alpha \beta B_{0}^{2} S^{2}}{L} \Delta z.
$$
Таким образом, на кольцо действует квазиупругая сила, коэффициент жёсткости которой равен
$$
k=\frac{2 \alpha \beta B_{0}^{2} S^{2}}{L}=\frac{2 \alpha \beta\left(\mu_{0} I_{0} n\right)^{2} S^{2}}{L}=0.14~Н/м.
$$
Частота колебаний кольца около положения равновесия равна
$$
f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=6.0~Гц.
$$