Требуется разогнать частицу с зарядом $q>0$, первоначально покоившуюся между пластинами конденсатора, до максимально возможной кинетической энергии. При этом частица не должна приближаться к пластинам ближе, чем на расстояние $a$.

Энергия частицы будет максимальна, если она сместится на максимально возможное расстояние под действием максимально возможной силы. Смещение ограничивается допустимыми расстояниями между пластинами и между пластиной и частицей. Электрическая сила, действующая на частицу, обратно пропорциональна расстоянию между пластинами, поэтому в каждый момент времени пластины должны быть максимально близко друг к другу.
Подключим конденсатор к источнику так, чтобы знаки зарядов частицы и закреплённой пластины совпадали. Сдвинем пластины до расстояния $2 a$. Поместим частицу точно посередине между пластинами. Как только частица начнёт двигаться, будем отодвигать пластину, чтобы расстояние от неё до частицы оставалось равным a. При $d<2 a$ ускорить частицу в конденсаторе невозможно.
Направим ось $x$ по направлению движения частицы и выберем начало отсчёта в месте начального положения частицы. Уравнение движения частицы имеет вид
$$
m \frac{d v}{d t}=|q E|,
$$
где $m$ и $v$ - масса и скорость частицы, $|E|=U /(2 a+x)$ - напряжённость электрического поля в конденсаторе. Подставим $|E|$ и домножим равенство выше на $d x$ :
$$
m \frac{d v}{d t} d x=|q| \frac{U}{2 a+x} d x,
$$
откуда, используя соотношение $v=d x / d t$, получим
$$
m v d v=|q| U \frac{d x}{2 a+x}
$$
Интегрируя полученное выражение в пределах от начального до конечного состояний, находим
$$
K_{\max }=\frac{m v_{\mathrm{KOH}}^{2}}{2}=\left.|q| U \ln (2 a+x)\right|_{0} ^{d-2 a}=|q| U \ln \frac{d}{2 a}.
$$