Пушка Гаусса — устройство, позволяющее преобразовывать электромагнитную энергию в кинетическую энергию ферромагнитного снаряда. На практике данный механизм имеет низкий КПД (~1%), поэтому он не имеет применения в науке и технике, однако широко используется в качестве наглядной демонстрации свойств ферромагнетиков, в силу простоты и безопасности установки. В данной задаче мы рассмотрим простейший вид пушки Гаусса — взаимодействие цепочки, состоящей из постоянного магнита ($\rm NdFeB$) и стальных шариков, с налетающим на нее стальным шаром. Конфигурация магнитного поля до столкновения отлична от таковой после столкновения, поэтому часть разницы магнитной энергии переходит в кинетическую энергию вылетающего после взаимодействия шарика. Таким образом, вылетающий шар имеет значительно большую скорость, нежели чем налетающий.
Оборудование:
В данной задаче стальные шарики можно считать однородными, $\mu_{ст} \gg1$. Считайте, что намагниченность шарикового магнита постоянна с течением времени, а также не зависит от внешнего магнитного поля.
Внимание! В данной задаче не требуется оценка погрешностей.
Внимание! Части C и D практически независимы от других частей.
* -2.00 Внимание! Если ваш стальной шарик укатиться под чужой стол, то его запрещено доставать! Запасные шарики и магниты не выдаются!
За нанесение ЛЮБЫХ пометок на алюминиевый желоб вы получите штрафной балл. За потерю ЛЮБОГО оборудования, кроме шариков или магнита вы получите штрафной балл.
За намеренное изменение угла алюминиевого желоба вас дисквалифицируют.
В данной части задачи исследуется скатывание стального шарика вдоль алюминиевого желоба. Соберите установку, как показано на рисунке ниже. Высоту горизонтального участка $h$ установите примерно на уровне $24~ см.$
При падении на матовую часть листа копировальной бумаги шарик оставляет четкий точечный след, таким образом можно определять место падения шарика.
A2
1.00
Проведите измерения зависимости дальности полета $l$ от длины наклонного участка пути шарика $L$ в диапазоне от $0$ до $70$ см для 5-ти значений $L$. Каждое измерение повторите не менее $3$-ех раз.
Все измерения $l$ должны быть сняты с помощью следов от падения шарика на листах А3. Листы А3 требуется сдать в конце работы.
Будем считать, что при прохождении шарика через угол желоба теряется часть $\gamma<1$ его кинетической энергии.
Перейдем непосредственно к изучению механизма пушки Гаусса. Для этого установите на горизонтальном участке желоба магнит и два стальных шарика, прицепленных к нему сзади (см. рисунок).
Примечание. Не располагайте пушку вблизи лапки штатива, поскольку ее влияние может исказить ваши результаты. Располагайте пушку на самом краю желоба.
B1 2.00 Измерьте зависимость дальности полета $l'$ вылетающего шарика от длины наклонного участка пути налетающего шарика $L$. Проведите измерения для тех же значений величины $L$, что вы использовали в части A. Для каждого значения $L$ проведите не менее 5 измерений величины $l'$.
Все измерения $l$ должны быть сняты с помощью следов от падения шарика на листах А3.
Далее изучим влияние начальной скорости на добавку к кинетической энергии $E_{кин}$ поступательного движения «снаряда» после взаимодействия с пушкой. Поскольку между $E_{кин}$ и $l$ есть однозначная связь, в дальнейшем мы будем описывать любые энергии в терминах величин $l$ и $l'$.
B3 0.40 Используя результаты пунктов A2 и B1, вычислите добавку $\Delta E_{кин}$ к кинетической энергии поступательного движения снаряда, полученной при взаимодействии с пушкой, для каждого экспериментального значения. Энергию рассчитывайте по формуле, полученной в предыдущем пункте, отбрасывая постоянные множители перед функцией от $l$.
Пушка Гаусса работает за счет разности между магнитной энергией начального и конечного состояния. Обозначим за $W_1$ работу, которую совершает магнитное поле пушки над шариком, который на нее налетает ($W_1>0$), за $W_2$ работу, которую совершает магнитное поле пушки над шариком, который от нее отлетает в результате «выстрела» ($W_2 < 0$).
При этом из-за удара часть энергии рассеивается. Этот факт можно учесть, введя коэффициент $\beta$ — часть кинетической энергии поступательного движения шарика, которая теряется в процессе удара. Величины $W_1$ и $W_2$ не зависят от начальной скорости налетающего шара.
Введем обозначение $\Delta E_\mathrm{max}=W_1(1-\beta) + W_2$.
В данной части задачи мы определим магнитный момент шарикового магнита и изучим наведенное поле в стальном шарике. Расположите алюминиевый желоб так, чтобы его длинная часть была горизонтальной, и закрепите в нем с помощью скотча датчик Холла. Специальный держатель позволит вам держать чувствительную часть датчка Холла на оси шариков.
Примечание: не проводите измерения при напряжении на датчике Холла $>200~мВ$.
В веществе с намагниченностью $\vec{M}$ выполняется следующее соотношение:\[\vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})\]
Поле снаружи равномерно намагниченного шара эквивалентно полю точечного диполя $\vec{m}$, расположенного в его центре. При этом $\vec{m}=\int \vec{M}\mathrm{d}V$, где $\vec{M}$ — вектор намагниченности.
Примечание. Характерное значение намагниченности неодимовых магнитов составляет $1.5\cdot 10^{6}$ ед. СИ.
Если расположить стальной шарик на расстоянии $x$ (расстояние между их центрами) от магнита, то вне шарика наведется поле, которое с хорошей точностью эквивалентно полю точечного диполя, расположенного НЕ обязательно в его центре. Наведенное поле можно измерить следующим образом: по принципу суперпозиции поля магнита и стального шарика складываются, поэтому вычитая из суммарного поля измеренное нами дополнительно поле магнита на том же расстоянии от датчика (достаточно убрать трубку со стальным шариком после измерения суммарного поля и записать новое значение), мы получим наведенное поле.
У неодимового магнита $|\mu-1|\ll1$, поэтому внешние поля не влияют на его намагниченность.
C6 0.50 Для каждой трубочки, используя результаты предыдущего пункта, с помощью МНК определите наведенный в стальном шаре дипольный момент $m'$.
Графики строить НЕ надо. Выберите такую линеаризацию, чтобы сдвиг положения наведенного в стальном шарике диполя (т.е. постоянный сдвиг $s$) не влиял на линейность.
Далее теоретически исследуем наведенный в стальном шарике дипольный момент.
C7
0.40
Запишите граничные условия для векторов $\vec{B}$ и $\vec{H}$ на границе сталь-воздух. Используя граничные условия, получите соотношение между углами, которые образуют вектора индукции магнитного поля $\vec{B}$ с нормалью к поверхности в обеих средах. Полученное соотношение может содержать указанные углы и $\mu_{сталь}$.
Получите выражение для угла между вектором индукции магнитного поля и нормалью в воздухе в предельном переходе $\mu_{сталь}\gg 1$.
При корректной замене величин магнитостатика эквивалентна электростатике, поэтому мы можем применять известные методы решения электростатических задач.
C9 0.20 На расстоянии $y>R$ от ферромагнитной сферы радиуса $R$ находится магнитный заряд $q_m$. Внешнее поле, которое создает ферромагнитная сфера, эквивалентно системе магнитных зарядов.
Опишите эквивалентную систему магнитных зарядов для данной ситуации (найдите их величины и положения).
Примечание. Магнитный заряд $q_m$ создает магнитное поле $\vec{B}$ в точке с радиус-вектором $\vec{r}$ согласно закону:\[\vec{B}=\dfrac{\mu_0q_m}{4\pi r^3}\vec{r}\]
Когда стальной шарик находится в поле точечного магнитного диполя, в нем наводится система магнитных зарядов $q_{m,i}$, поле которой на больших расстояниях от нее характеризуется дипольным моментом: \[\vec{m}=\sum_i q_{m,i}\vec{r_i}\]
Будем считать, что этот дипольный момент расположен в центре шарика.
Ферромагнитный шар во внешнем однородном магнитном поле $\vec{B}_0$ приобретает дипольный момент:\[\vec{m}=\dfrac{4\pi R^3}{\mu_0}\vec{B}_0.\]
Далее считайте, что стальной шар приобретает такой магнитный момент, как если бы он находился в однородном магнитном поле, равному внешнему полю в его центре. Данное приближение в рамках данной задачи эквивалентно рассматриваемому в конце части C.
Примечание. Для следующих пунктов вам могут понадобиться следующие интегралы:
\[\int\limits_4^\infty \left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{A}{(x-2)^3}+\dfrac{B}{(x+2)^3}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{A}{(x-2)^4}+\dfrac{B}{(x+2)^4}\right)\mathrm{d}x=5.58 \cdot 10^{-8}\cdot (27+8A+216B)^2\]
\[\int\limits_2^\infty \left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{A}{(x+2)^3}+\dfrac{B}{(x+4)^3}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{A}{(x+2)^4}+\dfrac{B}{(x+4)^4}\right)\mathrm{d}x=5.58 \cdot 10^{-8}\cdot \left(27\cdot(8+A)+8B\right)^2\]