1  ^?? Найдите значение коэффициента $A_0$ для оригинального определения.

Определим значение коэффициента $A_0$. Воспользуемся выражением, данным в условии задачи, и подставим в него $\rho=\rho_к$ и $n=N$:
$$\frac{\rho_к}{\rho_в}=\frac{A_0}{A_0-N}.\tag{1}$$Выразим коэффициент $A_0$:
$$A_0=\frac{\frac{\rho_к}{\rho_в}N}{\frac{\rho_к}{\rho_в}-1}=\frac{\frac{1842}{1000}\cdot66}{\frac{1842}{1000}-1}$$Коэффициент $A_0$ безразмерен и равен:

2  ^?? С учётом того, что плотность поваренной соли равна $\rho_с=2165~кг/м^3$, найдите значения коэффициентов $A$ и $B$ из современного определения.

Теперь разберёмся с достоверностью современных источников. Запишем выражения для концентрации $n'$:
$$n'=\frac{m_с}{m_с+m_в}.$$Тогда по современному определению градусы Боме:
$$n=\frac{m_с}{m_с+m_в}\cdot 100.\tag{2}$$Здесь $m_с$ – масса соли в растворе, $m_в$ – масса воды в растворе. Перепишем это выражение и определим величины, которые нам понадобятся для дальнейших расчётов.
$$\frac{1}{n'}=\frac{m_{с}+m_в}{m_с}=1+\frac{m_в}{m_с};\\\frac{m_в}{m_с}=\frac{1}{n'}-1=\frac{1-n'}{n'}.$$Запишем выражение для плотности раствора $\rho$:
$$\rho=\frac{m_с+m_в}{\dfrac{m_с}{\rho_с}+\dfrac{m_в}{\rho_в}}.\tag{3}$$Приведенные далее два варианта математических преобразований немного отличаются друг от друга, но приводят к одному результату.

Способ 1:

Преобразуем выражение для плотности, для этого вынесем за скобки в знаменателе массу соли в растворе $m_с$:
$$\rho=\frac{m_с+m_в}{m_с}\cdot\frac1{\frac1{\rho_с}+\frac{m_в}{m_с}\cdot\frac1{\rho_в}}.$$Подставим ранее найденные выражения и проделаем математические преобразования:
$$\rho=\frac1{n'}\cdot\frac1{\frac1{\rho_с}+\frac{(1-n^{\prime})}{n^{\prime}}\cdot\frac1{\rho_в}}=\frac1{n^{\prime}\left(\frac1{\rho_с}-\frac1{\rho_в}\right)+\frac1{\rho_в}}=\frac{\rho_с\rho_в}{\rho_с-(\rho_с-\rho_в)\cdot n^{\prime}}.$$В знаменателе вынесем за скобки разность плотностей поверенной соли и воды:
$$\rho=\frac{\frac{\rho_с\rho_в}{\rho_с-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.$$Поделим последнее выражение на плотность воды:
$$\frac\rho{\rho_в}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_С-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.\tag{4}$$

Способ 2:

Преобразуем выражение для плотности, для этого разделим числитель и знаменатель на $m_с+m_в$ и выразим отношения масс через $n'$:
$$\rho=\frac{\rho_{с}\rho_{в}}{\frac{\rho_{в}m_{с}}{m_{с}+m_{в}}+\frac{\rho_{с}m_{в}}{m_{с}+m_{в}}}=\frac{\rho_{с}\rho_{в}}{\rho_{в}n^{\prime}+\rho_{с}(1-n^{\prime})}=\frac{\rho_{с}\rho_{в}}{\rho_{с}-(\rho_{с}-\rho_{в})\cdot n^{\prime}}.$$
Теперь разделим числитель и знаменатель на $\rho_{с}-\rho_{в}$:
$$\rho=\frac{\frac{\rho_с\rho_в}{\rho_с-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.$$ Поделим последнее выражение на плотность воды:
$$\frac\rho{\rho_в}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_С-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.\tag{4}$$Выразим концентрацию раствора $n'$ (она же градусы Боме в соответствии с современными источниками) в процентах. Для этого умножим и поделим выражение (4) на 100:
$$\frac\rho{\rho_в}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}\cdot\frac{100}{100}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}\cdot100}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}\cdot100-n}.\tag{4}$$Так как в условии задачи написано, что «между плотностью водного раствора поваренной соли $\rho$ и количеством градусов Боме $n$ (в трактовке современных источников) существует несложная математическая зависимость
$$\frac{\rho}{\rho_в}=\frac{A}{B-n},$$ то сравнив два последних выражения, получаем, что
$$A=B=\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}\cdot100.$$Коэффициенты $A$ и $B$ безразмерны. Посчитаем их значения:

3  ^?? Сделайте вывод о том, можно ли считать современное определение соответствующим оригинальному.

Таким образом, итоговая формула для перевода градусов Боме $n$ в плотность раствора имеет вид:
$$\frac{\rho}{\rho_в}=\frac{186}{186-n}.$$
Подставляя любое значение $n\neq0$, например $n=1$, в историческую и современную формулы, не сложно увидеть, что значения полученных плотностей $\rho$ не будут одинаковыми.