Задачу удобно решать, совместив начало координат с центром масс системы (точка О, см. рисунок).
Сила притяжения протона и антипротона, находящихся на одинаковых расстояниях от точки $O$, paвна
$$
F=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 r)^{2}}.
$$
Таким образом, сила, действующая на каждую частицу, пропорциональна $1 / r^{2}$, где $r$ - расстояние от неподвижной точки $O$. Следовательно, потенциальная энергия $E_{p}$ каждой частицы выражается формулой
$$
E_{p}=\frac{-e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} r}.
$$
Знак (-) означает, что частицы притягиваются к точке $O$. Запишем теперь закон сохранения энергии для каждой частицы:
$$
-\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}(L / 2)}=-\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}(x / 2)}+\frac{m v^{2}}{2}.
$$
Принимая во внимание, что $L \gg x$, получим
$$
v=\sqrt{\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} x m}}=1.17 \cdot 10^{6} м/с \ll c,
$$
где $c$ - скорость света.
Траектории частиц можно рассматривать как вырожденные эллипсы с большой полуосью $L / 4$. Время $t$, через которое произойдет столкновение протона и антипротона и их аннигиляция, равно половине периода обращения по такому эллипсу. По третьему закону Кеплера период обращения частицы по эллипсу равен периоду обращения по круговой орбите радиуса $L / 4$.
Условие вращения по окружности радиуса $L / 4$ вокруг точки $O$ запишется в виде
$$
\begin{gathered}
\frac{m v_{0}^{2}}{L / 4}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 \cdot L / 4)^{2}},
\\
T^{2}=\left(\frac{2 \pi L / 4}{v_{0}}\right)^{2}=\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}},
\\
t=\frac{T}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}} \approx 67 мс.
\end{gathered}
$$
Отношение $F_{гр} / F_{эл}$ гравитационной и электрической силы, действующих между частицами, равно
$$
\frac{F_{\text {гр }}}{F_{\text {эл }}}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} G m^{2}}{e^{2}} \approx 10^{-36} \ll 1.
$$
Таким образом, гравитационные силы принимать в расчёт не следует.