1  ^?? Считая столкновение дисков упругим, но не обязательно лобовым, найдите, на каком расстоянии окажутся диски к моменту их остановки, если первый диск остановился, пройдя расстояние $x_{1}$.

Сохранение импульса в случае равных масс дисков даёт $\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}}=\vec{v}$, где $\overrightarrow{v_{1}}$ и $\overrightarrow{v_{2}}$ - векторы скорости дисков после удара, a $\vec{v}$ - вектор скорости налетевшего диска до удара. Таким образом, векторы составляют треугольник, указанный на рисунке ниже.

Сохранение энергии при упругом столкновении даёт $v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=v^{2} \quad$ (сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей). Отсюда следует, что угол между векторами $\overrightarrow{v_{1}}$ и $\overrightarrow{v_{2}}$ прямой. Прямым будет и угол между отрезками $x_{1}$ и $x_{2}$, пройденными дисками после столкновения.
Первый диск проходит до остановки расстояние $x_{1}$, откуда $v_{1}^{2}=2 \mu g x_{1}$. Для второго диска имеем $v_{2}^{2}=2 \mu g x_{2}$. Из закона сохранения энергии можно получить $x_{1}+x_{2}=L=\frac{v^{2}}{2 \mu g}$. По теореме Пифагора квадрат расстояния между дисками после их остановки
$$
R^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2 x_{1}^{2}-2 L x_{1}+L^{2}=2 x_{1}^{2}-\frac{x_{1} v^{2}}{\mu g}+\frac{v^{4}}{4 \mu^{2} g^{2}}.
$$

2  ^?? Чему равно наибольшее и наименьшее возможные конечные расстояния между дисками при данных значениях модуля скорости $v$ и коэффициента трения $\mu$?

Для ответа на второй вопрос рассмотрим это выражение как функцию $x_{1}$ (см. рисунок).

Понятно, что $L \geqslant x_{1} \geqslant 0$. На концах интервала $R^{2}$ принимает наибольшее значение, тогда $R=L=v^{2} /(2 \mu g)$. Наименьшее значение достигается при $x_{1}=L / 2$, тогда
$$
R^{2}=\frac{L^{2}}{2}, \quad R=\frac{L}{\sqrt{2}}=\frac{v^{2}}{2 \sqrt{2} \mu g}.
$$
Случай $x_{1}=0$ соответствует скользящему столкновению, случай $x_{1}=L$ - лобовому.