Наиболее простой вид электрического потенциала, в котором потенциально можно было бы удерживать частицу имеет вид
\[\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\Div}{div} \Phi = \frac{U}{2r_0^2} \left( \alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2 \right),\]
где $U$ - напряжение в установке, $r_0$ - характерный размер неоднородности поля, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - безразмерные константы.
Этот потенциал создается в вакууме внешними электродами, поэтому с необходимостью для него должно выполняться уравнение Пуассона $\Delta^2 \Phi = 0$ (оно получается подстановкой $\vec{E} = - \Grad \Phi$ в уравнение Максвелла $\Div \vec{E} = \rho / \varepsilon_0$ для вакуума, т.е. для $\rho=0$), где $\Delta$ - Лапласиан. Лапласиан функции $\Phi$ определяется следующим образом:
\[\Delta \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}.\]
Из выражения, полученного выше, следует, что невозможно создать такой статический потенциал, в котором частица будет устойчива по всем трем направлениям. Это проблема решается добавлением переменной радиочастотной составляющей.
\[ \Phi = \frac{U}{2r_0^2} \left( \alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2 \right) + \frac{V}{2r_0^2} \cos( \omega_\text{rf} t ) \left( \tilde{\alpha} x^2 + \tilde{\beta} y^2 + \tilde{\gamma} z^2 \right),\]
где $V$ - амплитуда переменного напряжения в установке, $\tilde{\alpha}$, $\tilde{\beta}$, $\tilde{\gamma}$ - безразмерные константы.
Важно то, что $\omega_\text{fr}$ - частота радиодиапазона, так как этому диапазону частот соответствуют длины волн гораздо больше характерных размеров ионной ловушки ($r_0 \approx 1~\text{мм}$) и поэтому можно пренебрегать волновыми эффектами (в частности это вообще позволяет нам вводить потенциал для электрического поля).
Таким образом, если $\omega_\text{fr} < \omega_\text{fr,max}$ то для коэффициентов $\tilde{\alpha}$, $\tilde{\beta}$ и $\tilde{\gamma}$ выполняется то же уравнение, что и для коэффициентов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Движение по каждой из осей оказывается независимым и сводится к уравнению Матьё:
\[ \frac{d^2 x}{d \xi^2} + (a_x - 2q_x \cos 2\xi)x = 0, \tag{1}\] где $\xi$ - безразмерная переменная, зависящая от времени, $a_x$ и $q_x$ - безразмерные константы.
Считайте, что единственная сила, действующая на ион, это сила взаимодействия с электрическим полем $\vec{E}$.
A4 Запишите выражения для $\xi$, $a_x$ и $q_x$ через физические параметры системы: время $t$, частоту переменного напряжения $\omega_\text{rf}$, постоянное напряжение $U$, амплитуду переменного напряжения $V$, массу иона в ловушке $m$, его заряд $Ze$, характерный размер установки $r_0$ и коэффициенты $\alpha$ и $\tilde{\alpha}$
Решения уравнения Матьё при разных константах $a_x$ и $q_x$ могут быть стабильными и нестабильными. Вы можете самостоятельно изучить этот вопрос, используя программу Mathieu.py, задавая $a_x$ и $q_x$ в коде (7 и 8 строчки).
В данной программе реализовано простейшее численное интегрирование (метод Эйлера). В ходе цикла программы переменная $\xi$ пробегает значение от $0$ до $\xi_\text{max}$ с шагом $\Delta \xi$. По известным значениям $x$, $\xi$ на каждой итерации цикла в соответствии с уравнением (1) вычисляется значение $d^2 x / d \xi^2$. Далее используются приближенные формулы
\[ \Delta \left( \frac{d x}{d \xi} \right) = \frac{d^2 x}{d \xi^2} \Delta \xi, \quad \Delta x = \frac{d x}{d \xi} \Delta \xi,\]
с помощью которых рассчитываются значения $x$ и $d x / d \xi$ в следующем цикле программы.
Для изучения стабильности для большого количества пар параметров $a_x$ и $q_x$ выработаем следующий критерий. Будем считать решение стабильным, если максимальное значение $x_{\text{max},1/2}$, достигнутое за половину времени симуляции отличается от максимального значения $x_\text{max}$ в течение всего времени симуляции менее, чем на $10\%$.
Этот алгоритм реализован в программе Mathieu-stab.py. В 31-37 строках можно определить диапазоны для $a_x$ и $q_x$ для изучения стабильности. Если у вас нет навыков программирования на Python, настоятельно рекомендуется запустить эту программу с высоким разрешением для обеих осей (это может занять несколько минут) и вручную записать некоторые координаты границ региона стабильности. Наш критерий стабильности не идеален, поэтому график может иметь некоторые артефакты. С помощью Matheiu.py вы можете вручную аккуратно проверить любую область параметров.
Заметим, что замена $q_x \to -q_x$ не влияет на устойчивость решения. Это можно показать следующим образом: так как $-q_x \cos (2 \xi) = q_x \cos (-\pi +2 \xi)$, одновременная замена $q_x \to -q_x$, $\xi \to \xi - \pi/2$ не меняет вид уравнения, то есть не влияет на устойчивость его решений.
Первой распространенной реализацией ионной ловушки является цилиндрически-симметричная 3D RF ловушка. Эта ловушка обладает геометрией, представленной на рисунке и этой геометрии соответствует следующий выбор констант.
$\alpha=1$ $\beta=1$ $\gamma=-2$ $\tilde{\alpha}=1$ $\tilde{\beta}=1$ $\tilde{\gamma}=-2$
B1 Нарисуйте качественный вид области параметров $U$, $V$ при которых ион внутри рассмотренной ловушке будет устойчив. Рассчитайте значения характерных точек области устойчивости для $\omega_\text{rf} = 3\cdot 10^7~\text{с}^{-1}$, $r_0=1~\text{мм}$ и рубидия $\rm ^{87}Rb^+$. Считайте, что генератор в лаборатории позволяет получить значение напряжений $|U| \in [0; \: 200] \:В$ и $|V| \in [0; \: 400] \:В$
Второй распространенной реализацией ионной ловушки является линейная RF-ловушка, которую используют для масс-спектрометрии. Эта ловушка обладает геометрией, представленной на рисунке и ей соответствует следующий набор констант:
$\alpha=1$ $\beta=-1$ $\gamma=0$ $\tilde{\alpha}=1$ $\tilde{\beta}=-1$ $\tilde{\gamma}=0$
B2 Нарисуйте качественный вид области параметров $U$, $V$ при которых ионы изотопа $\rm ^{87}Rb^+$ будут пролетать через ловушку, а ионы другого изотопа $\rm ^{86}Rb^+$ будут оседать на электродах. Рассчитайте значения характерных точек области параметров $U$, $V$ для $\omega_\text{rf} = 3\cdot 10^7~\text{с}^{-1}$, $r_0=1~\text{мм}$.