A1  ^?? Из уравнения Пуассона получите выражение, связывающие коэффициенты $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Вычислим производную напрямую:
\[
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} = \frac{U}{2r_0^2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2 \right) = \frac{U}{2r_0^2} \frac{\partial}{\partial x} \left( 2 \alpha x \right) = \frac{U \alpha}{r_0^2}.\]
По аналогии имеем следующее соотношение:
\[ \Delta \Phi = \frac{U}{r_0^2} \left( \alpha + \beta + \gamma \right),\]Таким образом, единственным способом удовлетворить равенство $\Delta \Phi = 0$ является выбор коэффициентов согласно соотношению
\[ \alpha + \beta + \gamma = 0\]

A2  ^?? Вычислите максимальную частоту $\omega_\text{fr,max}$ для которой длина волны $\lambda$ в $n=100$ раз больше $r_0$

Соотношение, которое связывает длину волны с частотой, это $2\pi /\lambda = \omega / c$. Таким образом ответ
\[\omega_\text{fr,max}=\frac{2\pi c}{n r_0}\]

A3  ^?? Пользуясь уравнением $\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\vec{E} = - \Grad \Phi$, найдите $x$-компоненту электрического поля $\vec{E}$, в котором двигается ион.

A4  ^?? Запишите выражения для $\xi$, $a_x$ и $q_x$ через физические параметры системы: время $t$, частоту переменного напряжения $\omega_\text{rf}$, постоянное напряжение $U$, амплитуду переменного напряжения $V$, массу иона в ловушке $m$, его заряд $Ze$, характерный размер установки $r_0$ и коэффициенты $\alpha$ и $\tilde{\alpha}$

Запишем Второй закон Ньютона для иона в проекции на ось $x$:
$$ m \cfrac{d^2x}{dt^2} = ZeE_x = -\cfrac{Zex}{r_0^2}\Big( \alpha U + \tilde{\alpha} V \cos (\omega_{rf} t )\Big)$$Используя замену $\xi = \omega_\text{rf} t /2$ получаем
$$ \cfrac{d^2x}{d\xi^2}+ x\Bigg( \frac{4 Ze \alpha U}{m r_0^2 \omega_\text{rf}^2}+\frac{4 Ze \tilde{\alpha} V}{m r_0^2 \omega_\text{rf}^2} \cos 2\xi \Bigg) = 0,$$Таким образом ответ:
\[\xi = \frac{\omega_\text{rf}t}{2}, \quad a_x = \frac{4 Ze \alpha U}{m r_0^2 \omega_\text{rf}^2}, \quad q_x = -\frac{2 Ze \tilde{\alpha} V}{m r_0^2 \omega_\text{rf}^2}\]

A5  ^?? Нарисуйте качественный вид области параметров $a_x$, $q_x$ при которых движение по оси $x$ устойчиво. Рассмотрите диапазон $a_x \in [-3;\: 7]$ и $q_x \in [0; \:5]$.

Запустив Mathieu-stab.py, мы можем получить график, который содержит некоторые артефакты в середине области стабильности.

B1  ^?? Нарисуйте качественный вид области параметров $U$, $V$ при которых ион внутри рассмотренной ловушке будет устойчив. Рассчитайте значения характерных точек области устойчивости для $\omega_\text{rf} = 3\cdot 10^7~\text{с}^{-1}$, $r_0=1~\text{мм}$ и рубидия $\rm ^{87}Rb^+$. Считайте, что генератор в лаборатории позволяет получить значение напряжений $|U| \in [0; \: 200] \:В$ и $|V| \in [0; \: 400] \:В$

Нам нужна устойчивость движения по всем осям. Из условия видно, что движение по осям $x$ и $y$ эквивалентно, но при этом для оси $z$ мы имеем $a_z = -2a_x$, $q_z = -2q_x$. То есть условие устойчивости: точки $(a_x,q_x)$ и $(-2a_x,2q_x)$ одновременно находятся в области устойчивости одномерного движения.

B2  ^?? Нарисуйте качественный вид области параметров $U$, $V$ при которых ионы изотопа $\rm ^{87}Rb^+$ будут пролетать через ловушку, а ионы другого изотопа $\rm ^{86}Rb^+$ будут оседать на электродах. Рассчитайте значения характерных точек области параметров $U$, $V$ для $\omega_\text{rf} = 3\cdot 10^7~\text{с}^{-1}$, $r_0=1~\text{мм}$.

Если движение вдоль осей $x$ и $y$ стабильно, ион пройдёт через ловушку, поскольку $E_z=0$. В противном случае ион будет выброшен. Таким образом, мы должны найти пересечение областей, где движение иона $\rm ^{87}Rm^+$ стабильно, а движение иона $\rm ^{86}Rb^+$ нестабильно.

Сначала найдём область, где решения уравнения Матье для параметров $(a_x, q_x)$ и $(-a_x, -q_x)$ стабильны одновременно. Это следует из $a_y = -a_x$ и $q_y = -q_x$.

Заменим координаты на $U, V$ для двух значений массы изотопа $m_{86} = 86 \: Да$ и $m_{87} = 87 \: Да$ и наложим графики друг на друга.