Ионы внутри ионных ловушек взаимодействуют с падающим на них светом, поэтому можно получить их "фотографии". Для этого можно использовать флуоресценцию: процесс самопроизвольного перехода между двумя состояниями системы, сопровождающийся излучением света. Рассмотрение любой системы с точки зрения квантовой механики приводит к тому, что у этой системы выделяются дискретные энергетические уровни и соответствующие им состояния. Другими словами стационарное состояние квантовой системы (в отличии от классической) не может быть вообще любым, а лишь одним из некоторого дискретного набора. Для описания громадного количества свойств квантовых объектов достаточно использовать двухуровневую систему (ДУС) - то есть рассматривать переходы системы только между двумя ее уровнями. В частности рассмотрим два уровня в ионе $\rm ^{41}Ca^+$. Чтобы различать их, назовем их $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Разность энергий между ними соответствует энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Энергия фотона задается уравнением $\hbar \omega$, где $\hbar=1.05 \cdot 10^{-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}$ - постоянная Планка, а $\omega = 2\pi c / \lambda$ - частота фотона. Скорость света $c=2.98 \cdot 10^8~\text{м}/\text{с}$, элементарный заряд $e=1.602 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$.
Любая ДУС находится не в чистом вакууме, а в "бане" электромагнитного излучения, с которой она может обмениваться энергией. Это приводит к тому, что если ДУС находится не в состоянии с наименьшей энергией, то она с некоторой вероятностью самопроизвольно излучает фотоны. В нашем случае это проявляется в том, что если ион $\rm ^{41}Ca^+$ находится в состоянии $4^2P_{1/2}$ то он с вероятностью в единицу времени $\Gamma = dP/dt$ самопроизвольно релаксирует в состояние $4^2S_{1/2}$ при этом испуская фотон с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Это явление и называется флюоресценцией.
Аналогичным образом можно возбудить ион в состоянии $4^2S_{1/2}$, если посветить на него светом с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$: с некоторой вероятностью он поглотит фотон и перейдет в состояние $4^2P_{1/2}$.
Рассмотрим ионную ловушку Пауля, движение вдоль каждой из осей которой описывается уравнением Матьё:
\[
\begin{cases}
\dfrac{d^2x}{d\xi^2} + (a - 2q \cos 2 \xi ) x = 0 \\[2pt]
\dfrac{d^2y}{d\xi^2} + (a - 2q \cos 2 \xi) y = 0 \\[2pt]
\dfrac{d^2z}{d\xi^2} -2 (a - 2q \cos 2 \xi ) z = 0
\end{cases},
\]
где $\xi=\omega_0 t/2$ – безразмерная переменная пропорциональная времени, $\omega_0$ – характерная частота колебаний электрического поля в ионной ловушке, $a$ и $q$ – безразмерные константы. Дальнейшее изучение проводите для значений констант $a_x=-0.1$, $q_x=0.8$.
A2 С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы.
Принцип неопределенности Гейзенберга состоит в том, что для любого квантового объекта существует принципиально непреодолимая неопределенность определения импульса $\sigma_p$ и неопределенность определения координаты $\sigma_x$, которые связаны выражением \[ \sigma_p \cdot \sigma_x \geq \frac{\hbar}{2}.\]
A3 Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$.
Поглощение ионом света и флюоресценция используются для уменьшения их кинетической энергии, то есть для охлаждения. Такой метод называется доплеровским охлаждением. Его идея заключается в том, что двигающийся ион поглощает свет не длины волны $\lambda$ а длины волны $\lambda + \delta \lambda$ из-за эффекта Доплера. В лабораторной системе отсчета четыре-импульс фотона летящего вдоль оси $x$ равен $p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z) = (\hbar \omega/c, \hbar \omega/c, 0, 0$). В системе отсчета, которая двигается со скоростью $V$ вдоль оси $x$ четыре импульс фотона изменится согласно преобразованиям Лоренца: \[ p'^\mu = \begin{pmatrix} \hbar \omega'/c\\ \hbar \omega'/c \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma V/c & 0 & 0 \\ -\gamma V/c & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hbar \omega/c\\ \hbar \omega/c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \Lambda^\mu\!_\nu p^\nu, \] где $\gamma = (1 - V^2/c^2)^{-1/2}$ - гамма фактор, а $\Lambda^\mu\!_\nu$ - матрица преобразований Лоренца.
Если ион поглощает фотон, то ему передается импульс фотона $\hbar \omega/c$. При флюоресценции наоборот ион отдает импульс $\hbar \omega/c$ испущенному фотону. Но при этом импульс поглощаемых фотонов направлен в одну сторону, а импульс испущенных фотонов направлен в случайном направлении! Поэтому, освещая ион светом с частотой $\omega + \delta \omega$ мы действуем на него в среднем не нулевой силой.
Для нахождения изменения импульса иона возможен и энергетический анализ, но он предполагает более тонкое изучение картины явления: большая часть энергии $\hbar \omega$ идет на изменение энергии конкретного электрона, и малая часть $\hbar \omega$ на изменение кинетической энергии всего иона. Оценить соотношение между этими величинами можно с помощью закона сохранения импульса. На самом деле спектр поглощения иона обладает некоторой шириной, то есть он поглощает фотоны не только с частотой (в системе отсчета иона) в точности равной частоте перехода $\omega$. Характер спектра поглощения напрямую связан с вероятностью в единицу времени $\Gamma $ самопроизвольного перехода. Если частота фотона (в системе отсчета иона) равна $\omega + \Delta \omega$, то вероятность поглощения задается выражением: \[ P = \frac{\Gamma^2}{\Delta \omega^2 + \Gamma^2}.\] Обратите внимание, что это не вероятность в единицу времени, а просто вероятность поглощения при пролете фотона через эффективную площадь сечения иона $\sigma$.
A8 Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$.
Охладив ион, мы можем приступать к изучению его взаимодействия с разными физическими объектами. При этом можно получать "изображение" иона. Как мы обсудили выше, ион взаимодействует со светом. При этом использовать свет охлаждающего лазера не удобно и обычно прибегают к другому методу. Добавим 3-ий уровень $3^2D_{3/2}$ в рассмотрение. Тогда ион из возбужденного состояния будет не только самопроизвольно релаксировать при переходах $4^2P_{1/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda = 397~\text{нм}$, но и самопроизвольно релаксировать путем $4^2P_{1/2} \to 3^2D_{3/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_1=866~\text{нм}$ и $3^2D_{3/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_2$.
Будем использовать флуоресцентный свет с длиной волны $\lambda_1$ для получения изображения иона. Для этого постав оптический фильтр непрозрачный для $\lambda$ и $\lambda_2$ и после него плоскую линзу диаметром $D$ и с фокусным расстоянием $f$ и за ней светочувствительную матрицу. Расстояние от плоскости линзы до иона равно $a$.