A1  ^?? Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$.

Разность энергий равна энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$:
\[\Delta E = \hbar \omega = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} \]

A2  ^?? С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы.

Для начальных условий $x(0) = 0.0$, $dx/d\xi(0)=2.0$ максимальные значения $x_\text{max}=4.20$ и $(dx/d \xi)_\text{max}=2.87$. Для начальных условий $x(0) = 0.0$, $dx/d\xi(0)=4.0$ максимальные значения $x_\text{max}=8.34$ и $(dx/d \xi)_\text{max}=5.87$.

A3  ^?? Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$.

Выразим $\sigma_p$ через $\sigma_x$:
$$\sigma_p = m \sigma_{dx/dt} = m\omega \sigma_{dx/d\xi}/2 = m\omega \sigma_x/2A $$Поэтому
\[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{\omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]

A4  ^?? Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергий $\hbar \omega$ между уровнями иона?

Энергия фотона в лабораторной СО равна $E_p=\hbar(\omega + \delta \omega)$, а проекция импульса на ось $x$ равна $p_{p x} = \hbar(\omega + \delta \omega) /c$. Запишем преобразования Лоренца, чтобы найти энергию фотона в СО иона $E_p'$:
$$ E_p' = \gamma (E_p - vp_{px}) =\gamma \hbar (\omega + \delta \omega_0) \left( 1-\frac{v}{c} \right)= \hbar (\omega + \delta \omega_0) \sqrt{\cfrac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$С другой стороны, энергия фотона $E_p'$ в системе отсчета иона совпадает с энергией перехода $\hbar \omega$. Таким образом
$$ \delta \omega_0 = \omega \left( \sqrt{\cfrac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} - 1 \right). $$Используя приближение $v/c \ll 1$ получаем:
\[ \delta \omega_0 \approx \omega \frac{v}{c} \]

A5  ^?? Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади?

Поскольку фотон несет энергию $\hbar \omega$ и его плотность потока $\Phi$, мы получаем $I = \hbar \omega \Phi$.

A6  ^?? Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$.

Рассмотрим излучение фотона ионом в его собственной системе отсчета. Обозначим угол между импульсом испущенного фотона в СО иона и положительным направлением оси $x$ за $\theta$. Так как в этой СО все направления излучения равновероятны, вероятность того, что угол $\theta$ будет находиться в интервале $[\theta, \theta + d\theta]$ пропорциональна телесному углу и равна $dw = \cfrac{2\pi \sin \theta d \theta }{4 \pi} = \sin \theta d \theta/2$.

Найдем проекцию импульса испущенного фотона на ось $x$ в лабораторной СО, используя преобразования Лоренца:

\[ p_{2x} = \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \]Посчитаем среднее значение $p_{2x}$:

\[ \overline p_{2x} = \int_0^\pi \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \cdot \cfrac{\sin \theta d \theta}{2} = \cfrac{\gamma \beta \hbar \omega}{c} \]Проекция изменения импульса иона на ось $x$ равна разности проекций импульсов поглощенного и испущенного ионов:

\[ \delta p_x = \cfrac{\hbar (\omega + \delta \omega)}{c} - \overline p_{2x} = \cfrac{\hbar \omega}{c} \Big( 1+ \cfrac{\delta \omega}{\omega} - \cfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \Big) \]С учетом приближения $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$:

\[ \delta p_x \approx \frac{\hbar \omega}{c}\]Усредненные проекции импульса испущенного фотона в лабораторной СО на оси $y$ и $z$ равны 0, поэтому $\delta p = \delta p_x$.

A7  ^?? Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$.

Для ответа сгодится оценка $\tau_1'=1/\Gamma$, однако можно найти и точное значение. Будем считать, ион перешел в возбужденное состояние в момент $t'=0$.

Обозначим вероятность нахождения иона в возбужденном состоянии к момент $t'$ за $P_1(t')$. Мы, что знаем вероятность испускания фотона в промежутке $t'\in[t';t'+dt']$ (при условии, что фотон не был испущен ранее $t'$) равна $\Gamma dt'$, поэтому

$$P_1(t'+dt') = P(t')(1-\Gamma dt')$$
Отсюда получаем дифференциальное уравнение на $P_1$:

$$ \cfrac{dP_1}{P_1} = - \Gamma dt' $$
С учетом начального условия $P_1(0) = 1$, находим:

$$ P_1(t') = \exp(-\Gamma t') $$
Выразим $\tau_1'$:

$$ \tau_1' = \int_0^{+\infty} t' \cdot \Gamma \exp(-\Gamma t') dt' = \cfrac{1}{\Gamma} $$

A8  ^?? Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$.

Найдем среднее время $\tau_2'$ между испусканием и поглощением фотона в собственной системе отсчета иона.

В этой системе отсчета поток $\Phi' = \gamma \Phi$, а энергия падающего фотона равна $\gamma \hbar (\omega + \delta \omega)\left( 1- v/c\right) = \hbar(\omega + \Delta \omega)$. Таким образом, среднее время жизни иона в невозбужденном состоянии равно
$$\tau_2' = \cfrac{1}{P\Phi' \sigma} = \cfrac{\left[ \gamma \left(1-\frac{v}{c}\right)(\omega + \delta \omega) -\omega \right]^2 + \Gamma^2}{\Gamma^2 \gamma \Phi \sigma}.$$
Среднее время $\tau_2$ между испусканием и поглощением фотона в лабораторной системе отсчета, с учетом $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$
$$ \tau_2 = \gamma \tau_2' \approx \cfrac{\Gamma^2 + (\delta \omega - v \omega / c)^2}{\Gamma^2 \Phi \sigma} $$
Учитывая $\Gamma \gg \Phi \sigma$, сила, действующая на ион, равна
$$ F_x \simeq \cfrac{\delta p_x}{\tau_2} = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 }.$$

Разделим постоянную и переменную составляющие силы:
$$ F \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2} $$

A9  ^?? Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем?

Если $F=-kv$, где $k$ постоянная, то сила $F$ ведет себя как сила вязкого трения, тем самым охлаждая ион. Этот случай реализуется, когда $\delta \omega < 0$.

A10  ^?? Чему равно $\lambda_2$?

Разность энергий уровней $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$ можно записать как энергию одного перехода и как сумму энергий двух переходов:
$$ \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda} = \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_1} + \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_2} $$Откуда:
\[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}\]

A11  ^?? При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительной матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$.

Из формулы тонкой линзы получим:
$$ \cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b} = \cfrac{1}{f}, $$Откуда
$$b = \frac{af}{a-f} $$

Размер наиболее четкого изображения можно оценить как размер диска Эйри.
$$ s = \cfrac{1.22 \lambda f}{D}.$$