Pho.rs: Зонная структура полупроводника

A1 ^?? Подставьте $\Psi(x) = e^{ikx/a} u(x/a)$ в уравнение Шредингера и получите уравнение на $u(y)$:
\[ u'' + 2ik u'+\left[ \frac{2ma^2}{\hbar^2} \left( E- U(x) \right) - k^2 \right] u = 0\]

A2 ^?? Рассмотрите линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентами $\alpha$ и $\beta$:
\[ u'' + 2i\alpha u' +(\beta-\alpha^2) u = 0.\]Найдите значения $\lambda_{1,2}$, для которых функция $u_{1,2}(y) = e^{\lambda_{1,2} y}$ является решением этого уравнения. Проверьте, что для любых констант $A$ и $B$ функция $u(y) = A e^{\lambda_1 y} + B e^{\lambda_2 y}$ тоже является решением этого уравнения.

Ответ: \[\lambda_1 = -i\alpha + \sqrt{-\beta}, \quad \lambda_2 = -i\alpha - \sqrt{-\beta}\]

A3 ^?? Запишите систему уравнений для коэффициентов $A_1$, $A_2$, $B_1$ и $B_2$, соответствующую предъявленным требованиям на функции $u_I(x)$ и $u_II(x)$, в матричном виде
\[ M \begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
B_1 \\
B_2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
M_{11} & M_{12} & M_{13} & M_{14} \\
M_{21} & M_{22} & M_{23} & M_{24} \\
M_{31} & M_{32} & M_{33} & M_{34} \\
M_{41} & M_{42} & M_{43} & M_{44}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
B_1 \\
B_2
\end{pmatrix} = 0.\]
Коэффициенты матрицы $M_{ij}$ запишите через $\lambda_{11}$, $\lambda_{12}$, $\lambda_{21}$, $\lambda_{22}$, $a$ и $b$.

Ответ: \[M=\begin{pmatrix}
1 & -1& 1 & -1\\
\lambda_{11} & -\lambda_{21} & \lambda_{12} & -\lambda_{22} \\
e^{-\lambda_{11}b/a} & -e^{\lambda_{21}(1-b/a)} & e^{-\lambda_{12}b/a} & -e^{\lambda_{22}(1-b/a)} \\
\lambda_{11}e^{-\lambda_{11}b/a} & -\lambda_{21}e^{\lambda_{21}(1-b/a)} & \lambda_{12}e^{-\lambda_{12}b/a} & -\lambda_{22}e^{\lambda_{22}(1-b/a)} \\
\end{pmatrix}
\]

A5 ^?? Покажите, что волне де-Бройля $\Psi(x) = e ^{ikx/a}$ соответствует энергия $E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m a^2}$.

A6 ^?? Выразите $E_F$ через $L$, $N$, $m$ и $\hbar$.

Ответ: \[k_\text{max}=\pi N a / 2L\]\[ E_F = \frac{\pi^2 \hbar^2 N^2}{8m L^2} \]

A7 ^?? С помощью программы energy.py получите зависимость ширины запрещенной зоны $E_g$ внутри которой находится уровень Ферми, от параметра $k_0$ при $b/a=0.1$. Считайте $a=0.5~\text{нм}$, массу электрона $m=9.1 \cdot 10^{-31}~\text{кг}$, постоянную Планка $\hbar=1.05 \cdot 10^{-34}~\text{Дж} \cdot \text{с}$, элементарный заряд $e=1.60 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$.
Заполните таблицу table.txt и c помощью программы bandgap.py нарисуйте график этой зависимости. В таблице table.txt разделитель между столбцами - табуляция.

A8 ^?? Какому $k_0$ соответствует запрещенная зона кремния $E_{\rm Si} = 1.12~\text{эВ}$? Далее все расчеты проводите для этого $k_0$.

\[k_0=1.9\]

A9 ^?? С помощью программы energy.py найдите значения $E_c-E_F$, $E_F-E_v$, $\alpha$ и $\beta$. Проверьте себя тем, что $E_c - E_v= E_{\rm Si}$. Также найдите значения $(E_c - E_F)/k_\text{B}T$ и $(E_F - E_v)/k_\text{B}T$ для $T=300~\text{К}$.

Ответ: \[ E_c = E_F + 0.71~\text{эВ}, \quad \alpha = 1.99~\text{эВ}, \quad \frac{E_c - E_F}{k_\text{B}T}=27\]\[ E_v = E_F - 0.48~\text{эВ}, \quad \beta = 1.68~\text{эВ}, \quad \frac{E_F - E_v}{k_\text{B}T}=18\]

A10 ^?? Покажите, что общее количество состояний $p$, НЕ заполненных в валентной зоне:
\[p = \frac{L}{a} e^{\frac{E_v - E_F}{k_\text{B}T}} \sqrt{\frac{k_B T}{\pi\beta}}.\]
Это число $p$ является количеством дырок, участвующих в процессах переноса.

Покажите, что $p \cdot n$ не зависит от положения уровня Ферми $E_F$. Найдите значение $n_i= \sqrt{p \cdot n} \cdot a / L$ для кремния при температуре $T=300~\text{K}$.

Ответ: \[pn = \frac{L^2}{a^2} e^{-\frac{E_g}{k_\text{B}T}} \frac{k_\text{B} T}{\pi\sqrt{\alpha \beta}} \]\[ n_i = \sqrt{pn} \cdot a/L = 2.7 \cdot 10^{-11}\]

A11 ^?? Каким нужно выбрать уровень Ферми $E_F$ (вместо приведенной ранее оценки), чтобы кристалл был электронейтральным, то есть количество дырок $p$ совпадало с количеством электронов $n$?

Ответ: \[E_F = \frac{E_v + E_c}{2} - \frac{k_\text{B}T}{2} \ln \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \]

A12 ^?? Какую долю $c$ атомов кремния $\rm Si$ надо заменить на алюминий $\rm Al$, чтобы отношение количества дырок к количеству электронов $p/n$ увеличилось в $q=10^6$ по отношению к чистому кремнию? Считайте температуру равной $300~\text{К}$.

В чистом кремнии $p=n$, следовательно с учетом условия в кремнии с примесями $p = qn$. Замена атомов кремния только сдвигает уровень Ферми, поэтому $\sqrt{pn} =n_i$ значит
\[ p =n_i \sqrt{q}, \quad n = \frac{n_i}{\sqrt{q}}.\]Выполним условие электронейтральности:
\[ p - \frac{cL}{a} = n\]и из него получим ответ
\[ c = \left( \sqrt{q} + \frac{1}{\sqrt{q}} \right) \cdot 2.6 \cdot 10^{-11} \simeq 2.6 \cdot 10^{-8}. \]

Зонная структура полупроводника

Решение