1  ^?? Длина теплотрассы $L_{1}=10~км$.

Рассмотрим малый участок трубы $\Delta x$ (см. рисунок).

В выделенный участок трубы вода втекает при температуре $T$, а вытекает при темпеpaтуре $T+\Delta T(\Delta T<0)$. Таким образом, за время $\Delta t$ протекшая вода отдаёт на участке $\Delta x$ количество теплоты $\Delta Q=-c \mu \Delta T \Delta t$, где $c$ - удельная теплоемкость воды. Такое же количество теплоты в стационарном режиме передается через теплоизолирующий слой окружающему воздуху:
$$
\Delta Q=\chi \frac{2 \pi R \Delta x}{h}\left(T-T_{в}\right) \Delta t.
$$
Приравнивая эти выражения, и в пределе, заменяя $\Delta T$ и $\Delta x$ на $d T$ и $d x$, можно записать
$$
\frac{d T}{T-T_{в}}=-A d x,
$$
где $A=\chi \frac{2 \pi R}{c \mu h}$ - постоянный множитель. При вычислении численного значения $A$ следует учесть поправку на толщину теплоизолирующего слоя и вместо значения $R=20~см$ подставлять $(R+h / 2)=22~см$. Тогда
$$
A=6.54 \cdot 10^{-6}~м^{-1}.
$$
Интегрируя левую часть уравнения в пределах от $T_{0}$ до $T_{к}$, а правую, соответственно, от $0$ до $L$, получим
$$
\begin{gathered}
\ln \frac{T_{к}-T_{в}}{T_{0}-T_{в}}=-A L,
\\
T_{к}=T_{в}+\left(T_{0}-T_{в}\right) e^{-A L}.
\end{gathered}
$$

Для теплотрассы длиной $L_{1}=10~км$ получаем
$$
T_{к 1}=-20+(120+20) e^{-0.0654} \approx 111~^{\circ}С.
$$

2  ^?? Длина теплотрассы $L_{2}=100~км$.

Для теплотрассы длиной $L_{2}=100~км$ получаем
$$
T_{к 2}=-20+(120+20) e^{-0.654} \approx 53~^{\circ}С.
$$

Примечание. При длине теплотрассы $L_{1}=10~км$ температура понизилась незначительно, поэтому в этом случае задачу можно решить приближенно без интегрирования уравнения, предполагая, что теплообмен с окружающим воздухом во всей трубе идет при разности температур $\left(T_{0}-T_{в}\right)$, как на начальном участке теплотрассы. Это приводит к уравнению
$$
-c \mu\left(T_{к 1}-T_{0}\right)=\chi \frac{2 \pi R L_{1}}{h}\left(T_{0}-T_{в}\right).
$$
Выражая $T_{к 1}$, получим
$$
T_{к 1}=T_{0}-A L_{1}\left(T_{0}-T_{в}\right) \approx 111~^{\circ}С.
$$
Вычисление температуры $T_{к 2}$ подобным методом приводит к ошибочному результату: $T_{к 2} \approx 28~^{\circ}С$. Однако, можно предположить, что теплообмен вдоль всей теплотрассы происходит при некоторой средней температуре воды $\left(T_{0}+T_{к}\right) / 2$. В этом случае
$$
T_{к 2}=\frac{T_{0}-A L_{2}\left(T_{0} / 2-T_{в}\right)}{1+A L_{2} / 2} \approx 50~^{\circ}С,
$$
что является уже вполне приличным приближением.