Ударная волна - это такой тип движения газа, при котором существует некоторая поверхность, фронт, при переходе через который газ резко меняет свое состояние. Ударные волны возникают при взрывах, при движении самолетов со сверхзвуковыми скоростями. Также похожие процессы происходят и в астрофизике: Например, магнитное поле земли, стоящее на пути солнечного ветра, вызывает в нем ударную волну. Ударные волны делятся на три типа: нормальные ударные волны, косые ударные волны и головные ударные волны. В нормальной ударной волне газ подлетает к границе перпендикулярно к ней. В косой волне скорость газа направлена под некоторым углом к границе. Головная ударная волна возникает при движении тел неправильной формы в неподвижном газе со скоростью большей скорости звука. Такая волна имеет форму близкую к конусообразной. Описывать такую волну в разы сложнее чем первые две, хотя формулы, полученные при описании косой волны, могут быть использованы при описании локальных участков головной волны. Любая ударная волна характеризуется числом Маха - если скорость границы волны равна $v$, то число Маха определяется как $M = v/c$, где $c$ - скорость звука, которая определяется по формуле $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$, что приводит нас к выражению $M = v\sqrt{\frac{\rho}{\gamma P}}$. Во всех частях задачи мы будем находится в системе отсчёта границы, что значительно упрощает выкладки.
Рассмотрим нормальную ударную волну. Скорость невозмущённого воздуха в этой системе отсчета равна $v_1$, его давление и плотность равны соответственно $P_1$ и $\rho_1$. После прохождения фронта параметры воздуха претерпевают резкий скачок и становятся равны: $v_2, P_2, \rho_2$.
К полученным двум уравнениям можно добавить закон сохранения энергии для газового потока, также называемое уравнение Бернулли: \[\frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{P_1}{\rho_1} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{P_2}{\rho_2} + \frac{v_2^2}{2}\] Мы имеем три уравнения и три неизвестных - ($v_2, P_2, \rho_2$). Это позволяет нам вычислить каждую из них. В первую очередь нам будет интересна скорость возмущённого газа $v_2$.
Изучим косую ударную волну, возникающую, когда воздух налетает на бесконечную наклонную плоскость с углом наклона $\theta$. Считайте, что параметры воздуха слева и справа от границы однородны. (Скачок параметров происходит только на границе) . Из этого условия понятно, что скорости воздуха должны быть направлены параллельно соответсвующим поверхностям. Поэтому в косых волнах, возникающих в других ситуациях $\theta$ определяется как угол между скоростью воздуха до границы и скоростью воздуха после границы.
Уравнения, полученные в части А остаются верными с одной поправкой: в каждом из них фигурируют именно нормальные компоненты скоростей. Это видно и из самих уравнений и из следующего рассуждения: можно найти такую систему отсчёта, что тангенциальные компоненты скоростей воздуха обнулятся. Тогда повторив выкладки из части А в такой системы отсчёта, получим: \[k = \frac{v_{n1}}{v_{n2}} = \frac{M_{1n}^2(\gamma - 1) + 2 }{M_{1n}^2(\gamma + 1)},\] где $M_{1n} = M_1 \cdot \sin{\beta}$ - нормальная компонента числа Маха слева от границы.
B3 С помощью программы постройте графики $\beta$ от $\theta$ при различных $M_1$. Для $\theta = 10^\circ$ найдите $M_{min}$, при котором решение уравнения (1) на угол $\beta$ ещё существует. Значения $M$ задаются в массиве $M_{values}$. Для удобства на графике также нарисована вертикальная прямая $\theta = 10^{\circ}$. Ниже показан график для значений $M_{values} = [1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0]$.
При $M < M_{min}$ решений нет. Значит, вид ударной волны станет другим - наша модель перестанет работать. На самом деле произойдет следующее: так как воздух налетает с меньшей скоростью, то тот воздух, который уже столкнулся с поверхностью, будет успевать тормозить летящий следом за ним воздух. Получим, что ударная волна должна начинаться раньше, чем воздух дойдет до плоскости. Такой вид ударной волны называется открепленным скачком плотности, он изображен на последней картинке. Если решение на $\beta$ существует, то имеются два корня. Один соответствует большему перепаду давления, другой меньшему. В реальной ситуции может реализовываться и тот и другой вариант.
Полученное выше $\theta - \beta - M$ уравнение может быть использовано для оценки подъёмной силы, действующей на сверхзвуковой самолет.
У модели Bell-X-1, первого самолета в мире, преодолевшего звуковой барьер, крылья перпендикулярны корпусу и почти плоские. Представим их как наклонную плоскость с углом раствора $\theta = 10^{\circ}$, основанием $H = 1.5~\text{м}$, и длиной $L = 10~\text{м}$ ($L$ - размах крыльев). Масса самолёта - $M = 5000~\text{кг}$.
В системе отсчёта самолёта налетающий воздух разделяется на два потока: над крылом и под крылом. Считайте, что верхняя поверхность крыла строго горизонтальна и воздух над ней не образует ударной волны. Воздух под крылом образует косую волну, которую мы изучали в части B. Давление воздуха в этой волне будет больше атмосферного, что создаст вертикальную подъёмную силу.
Пусть самолёт летит на высоте в 20 километров над уровнем моря со скоростью $v_1 = 600 ~\text{м}/\text{с}$. Атмосферное давление на этой высоте равно $P_1 = 5529~\text{Па}$, плотность воздуха $\rho_1 = 0.089~\text{кг}/~\text{м}^3$, показатель адиабаты $\gamma = 1.4$. Ускорение свободного падения $g = 9.7 м/c^2$.