Выберем участок площади $S$ на передней поверхности. Массовый расход через эту поверхность может быть вычислен двумя способами: \[\frac{dm}{dt} = \rho_1 v_ 1 S = \rho_2 v_2 S\]Отсюда получаем: \[\rho_1 v_ 1 S = \rho_2 v_2 \]

Давайте выберем цилиндр с площадью основания $S$, упомянутой ранее. Сила, действующая на его левую грань, равна $P_1S$. Учитывая силу на его правую грань, получаем, что полная сила: \[F = (P_1 - P_2)S\]Эта сила вызывает изменение импульса: \[F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \cdot \Delta V = S\rho_1v_1(v_2 - v_1)\]Сокращая на $S$ получаем: \[P_1 - P_2 = \rho_1 v_1 (v_2 - v_1)\]

\[\frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{P_1}{\rho_1} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{P_1 - \rho_1v_1(v_2 - v_1)}{\rho_1 v_1 / v_2} + \frac{v_2^2}{2}\]\[\frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{P_1}{\rho_1 v_1^2} + \frac{1}{2} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{P_1/\rho_1v_1^2 - k+1}{1/k} + \frac{k^2}{2}\]\[\frac{\gamma}{\gamma - 1}\frac{1}{\gamma M_1^{2}} + \frac{1}{2} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}k(\frac{1}{\gamma M_1^{2}} + 1 - k) + \frac{k^2}{2}\]
\[\frac{1}{\gamma - 1} M_1^{-2}(1 - k) + \frac{1}{2} (1 - k^2) = \frac{\gamma}{\gamma - 1}k(1 - k) \]Сокращая на $(1-k)$:
(Очевидно, что такое сокращение должно было произойти согласно теореме Безу)
\[\frac{1}{\gamma - 1}M_1^{-2} + \frac{1}{2} (1+k) = \frac{\gamma}{\gamma - 1}k\]\[\frac{1}{\gamma - 1}M_1^{-2} + \frac{1}{2} = k(\frac{\gamma}{\gamma - 1} - \frac{1}{2})\]Получаем:
\[k = \frac{\frac{1}{\gamma - 1}M_1^{-2} + \frac{1}{2}}{\frac{\gamma}{\gamma - 1} - \frac{1}{2}}\]\[ k = \frac{v_2}{v_1} = \frac{M_1^2(\gamma - 1) + 2 }{M_1^2(\gamma + 1)},\]

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{P_1 - \rho_1 v_1 ^2 (k - 1)}{P_1} = 1 - \gamma M_1^2\cdot(k - 1) = 1 + \gamma M_1^2- \gamma M_1^2 \cdot \frac{M_1^2(\gamma - 1) + 2 }{M_1^2(\gamma + 1)} = \]\[ = 1 - \frac{2\gamma}{\gamma + 1} + \gamma M_1^2(1 - \frac{\gamma - 1}{\gamma + 1}) = \frac{2 \gamma M_1^2 +(\gamma - 1)}{\gamma + 1}\]

Рассмотрим силы действующие на маленький объём газа, пересекающий фронт. Площадь его сечения плоскостью фронта равна $S$. Газ слева от фронта давит на наш кусок силой $F_1 = P_1 S$ в направлении, перпендикулярном границе. Аналогично есть противоположно направленная сила $F_2 = P_2 S$. Это все силы, которые действуют на выделенный объём. Получаем, что силы, действующие вдоль фронта, отсутствуют. Из этого следует, что тангенциальная компонента импульса, а следовательно и скорости, сохраняется.

Условие сохранения тангенциальной компоненты:
\[ v_2 \cos{(\beta - \theta)} = v_1 \cos{\beta} \]Уравнение из части А:
\[v_2 \sin{(\beta - \theta)} = v_1 \sin{\beta} \cdot \frac{(\gamma - 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} + 2 }{(\gamma + 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta}}\]Поделим одно на другое:
\[\tan{(\beta - \theta)} = \tan {\beta} \cdot \frac{(\gamma - 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} + 2 }{(\gamma + 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta}}\]Преобразуем:
\[(\tan{\beta} - \tan{\theta})(\gamma + 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} = (1 + \tan{\beta}\tan{\theta})\tan {\beta} \cdot ((\gamma - 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} + 2 )\]Группируем:
\[\tan{\beta} \cdot \big((\gamma + 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} - (\gamma - 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} - 2\big) = \tan{\theta} \cdot \big((\gamma + 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} + \tan^2{\beta}((\gamma - 1)M_{1}^2 \sin^2{\beta} + 2 ) \big)\]\[\tan{\theta} = \cot{\beta} \frac{2M_1^2\sin^2{\beta} - 2}{M_1^2\big((\gamma + 1)\cos^2{\beta}) + (\gamma - 1)\sin^2{\beta}\big) + 2} = 2 \cot{\beta} \frac{M_1^2 \sin^2{\beta} - 1}{M_1^2(\gamma + \cos{2\beta} )+ 2} \]

Скорость звука на этой высоте равна $c = \sqrt{\gamma P/\rho} = 295 ~\text{м/с}$. Тогда число Маха равно $M = 2.03$

Воспользуемся формулой из части А, не забывая, что нужно в неё подставить именно нормальную компоненту числа Маха: \[\frac{P_2}{P_1} = \frac{2\gamma M_1^2 \sin^2{\beta}- (\gamma - 1)}{\gamma + 1} = 1.72\]Откуда: $P_2 = 9509~\text{Па}$

Сила, действующая на правый торец не имеет вертикальной компоненты. Тогда, считая угол $\theta$ маленьким, \[F = (P_2 - P_1)HL = 59700~\text{Н}\] Массу дополнительного груза найдем по формуле: \[(M +\Delta M )g = F\]Откуда: \[\Delta M =\frac{F}{g} - M =1160~\text{кг} \]

Предложенная модель довольно груба, но, как мы видим, она даёт значения силы очень близкие к реальным.