В нулевом приближении сопротивление терморезистора можно считать постоянным и примерно равным:\[R_1=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_BT_1}\right].\]Подставляя в уравнение на температуру, получим:\[C\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-\kappa(T_1-T_0)+\frac{V_0^2}{R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\cos^2\omega t.\]Усредняя уравнение по времени, получим:\[0=-\kappa(T_1-T_0)+\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\implies\]
Самая простая линеаризация зависимости, полученной в предыдущем пункте – это:\[\ln\frac{t_1-t_0}{V_0^2}=\ln\frac{\kappa}{2R_0}+\frac{E_g}{k_B}\cdot\frac{1}{t_1+273~К}.\]Пересчитаем точки для $\ln\dfrac{t_1-t_0}{V_0^2}$ и $\dfrac{1}{t_1+273~К}$ в таблице ниже и построим график этой зависимости:
$V_0,~В$ 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 $t_1,~{}^\circ\mathrm C$ 20.7 21.1 21.6 22.2 22.9 23.8 24.8 $\ln\dfrac{t_1-t_0}{V_0^2}$ 0.175 0.176 0.178 0.180 0.181 0.188 0.192 $\dfrac{10^3}{t_1+273~К}$ 3.405 3.400 3.394 3.388 3.380 3.369 3.358 $V_0,~В$ 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 $t_1,~{}^\circ\mathrm C$ 26.0 27.4 29.1 31.0 33.3 36.2 40.0 $\ln\dfrac{t_1-t_0}{V_0^2}$ 0.198 0.206 0.215 0.224 0.236 0.253 0.277 $\dfrac{10^3}{t_1+273~К}$ 3.344 3.329 3.310 3.289 3.265 3.234 3.195
Коэффициенты этой зависимости:\[\ln\frac{\kappa}{2R_0}=3.759,\quad \frac{E_g}{k_B}=2.074\cdot10^3.\]Отсюда находим:\[E_g=2074k_B=2074\cdot\frac{1.38\cdot10^{-23}}{1.60\cdot10^{-19}}~эВ\approx0.18~эВ.\]
Зная комнатную температуру $t_0$ и сопротивление $R(t_0)$, находим $R_0$:\[\begin{aligned}&R=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_B(t_0+273~К)}\right]\implies\\&\implies R_0=R\exp\left[-\frac{E_g}{k_B(t_0+273~К)}\right]=8.60\cdot \exp\left[\frac{2074}{293}\right]=7.3\cdot10^{-3}~Ом.\end{aligned}\]Наконец, находим отсюда $\kappa$:\[\kappa=2R_0\exp[3.759]=0.62~\frac{Вт}{К}.\]
Оставив в уравнении на температуру только слагаемые, содержащие $\cos(2\omega t)$, поскольку постоянные слагаемые сократятся как следствие предыдущей части, а слагаемые с бóльшими частотами будут иметь бóльший порядок малости и нерелевантны. Итого:\[CT_2\frac{\mathrm d\cos[2\omega t+\phi]}{\mathrm dt}=-\kappa T_2\cos[2\omega t+\phi]+\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT}\right]\cos(2\omega t).\]Поскольку полученное уравнение оказалось линейным, с ним удобно работать в комплексной записи:\[2i\omega CT_2e^{i\phi}=-\kappa T_2e^{i\phi}+\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT}\right]=-\kappa T_2e^{i\phi}+\kappa(T_1-T_0)\\ T_2=\frac{\kappa(T_1-T_0)}{\sqrt{\kappa^2+4\omega^2C^2}}\overset{T_2\ll(T_1-T_0)}\approx \frac{\kappa(T_1-T_0)}{2\omega C},\quad \phi=-\operatorname{arctg}\frac{2\omega C}{\kappa}\]
В связи с небольшими колебаниями температуры происходят колебания сопротивления терморезистора, из-за чего и возникает кривая гистерезиса. Найдём, как в первом приближении зависит от времени ток через терморезистор:\[2\omega C\gg \kappa\implies \phi\approx -\frac{\pi}{2}\implies T(t)=T_1+T_2\sin(2\omega t).\]Далее:\[\begin{aligned}I(t)&=\frac{V(t)}{R(t)}=\\&=\frac{V_0}{R(T_1)}\cos(\omega t)\cdot\left[1-T_2\sin(2\omega t)\cdot\left.\frac{\mathrm dR(T)}{\mathrm dT}\right|_{T=T_1}\right]=\\&=\frac{V_0}{R(T_1)}\cos(\omega t)\cdot\left[1-T_2\sin(2\omega t)\cdot R(T_1)\cdot\left(-\frac{E_g}{k_BT_1^2}\right)\right]=\\&=\frac{V_0}{R(T_1)}\cos(\omega t)+\frac{V_0E_gT_2}{k_BT_1^2}\cos(\omega t)\sin(2\omega t).\end{aligned}\]Максимальное значение поправка первого порядка к току принимает при:\[\cos(\omega t) \sin(2\omega t)\to\max\implies\\\begin{aligned}0&=\frac{\mathrm d}{\mathrm d(\omega t)}\big[\cos(\omega t) \sin(2\omega t)\big]=\\&=-\sin(\omega t)\sin(2\omega t)+2\cos(\omega t)\cos(2\omega t)=\\&=-2\sin^2(\omega t)\cos(\omega t)+2\cos(\omega t)\big[\cos^2(\omega t)-\sin^2(\omega t)\big]=\\&=2\cos(\omega t)\big[\cos^2(\omega t)-2\sin^2(\omega t)\big]=\\&=2\cos(\omega t)\big[1-3\sin^2(\omega t)\big]\implies\end{aligned}\\\sin(\omega t)=\sqrt\frac13,\quad \cos(\omega t) =\sqrt\frac23\]и равна при этом:\[\delta I_{1\mathrm m}=\max_t|\delta I_1|=\frac{V_0E_gT_2}{k_BT_1^2}\cdot 2\cdot\sqrt\frac13\cdot \frac23=\frac{1}{3\sqrt3}\frac{V_0E_g}{k_BT_1^2}\frac{\kappa(T_1-T_0)}{\pi\nu C}.\]Поскольку сопротивление более чувствительно к температуре, чем напряжение (его относительные изменения больше), температуру будем определять по сопротивлению, измеряя тангенс угла наклона оси симметрии гистерезисной петли $\langle R\rangle$:\[\langle R\rangle=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\implies T_1=\frac{E_g}{k_B\ln\dfrac{\langle R\rangle}{R_0}}.\]Также будем снимать максимальную ширину гистерезисной петли по оси $I$. Это следует делать при напряжении:\[V'=V_0\cos(\omega t)_{\max}=V_0\sqrt\frac23\approx 0.82V_0.\]При этом ширина петли будет равна:\[2\delta I_{1\mathrm m}=\frac{1}{C}\frac{2\kappa V_0E_g(T_1-T_0)}{3\sqrt3\cdot\pi\nu k_BT_1^2}.\]Занесём результаты измерений и обработки в таблицу и построим график зависимости $2\delta I_{1\mathrm m}\left(\frac{2\kappa V_0E_g(T_1-T_0)}{3\sqrt3\cdot\pi\nu k_BT_1^2}\right)$:
$№$ 1 2 3 4 5 6 $V_0,~В$ 4.5 6.7 8.0 8.8 9.3 9.6 $I_0,~А$ 0.58 1.00 1.40 1.78 2.16 2.56 $\langle R\rangle,~Ом$ 7.76 6.70 5.71 4.94 4.31 3.75 $T_1,~К$ 297.6 304.0 311.3 318.2 325.0 332.3 $\frac{2\kappa V_0E_g(T_1-T_0)}{3\sqrt3\cdot\pi\nu k_BT_1^2},~\frac{Дж\cdot А}{К}$ 0.041 0.094 0.149 0.196 0.239 0.280 $V',~В$ 3.7 5.5 6.5 7.2 7.6 7.8 $2\delta I_{1\mathrm m},~А$ 0.07 0.12 0.16 0.20 0.23 0.26
Угловой коэффициент графика находим графически или по МНК. Получается результат:\[\frac{1}{C}=1.27~\frac{К}{Дж}\implies C=0.79~\frac{Дж}{К}\]