Введение

Как известно, луч света, попадая на границу раздела двух диэлектриков, преломляется и отражается. Угол преломления $\phi_2$ зависит от угла падения $\phi_1$ и показателей преломления сред $n_1$, $n_2$ (см. рис. 1). Данная зависимость выражается законом Снелла: $$n_1 \sin \phi_1 = n_2 \sin \phi_2,$$где $n_1$, $n_2$ — показатели преломления сред, соответствующих углам распространения луча $\phi_1$, $\phi_2$.

Часть A. Полусфера (1.5 балла)

На рис. 2 показан ход двух лучей ($a$, $b$) разных цветов в прозрачной полусфере, распространяющихся вдоль одного радиуса. После преломления на нижней поверхности полусферы лучи выходят под углами $\theta_a$, $\theta_b$ к нормали (см. рис. 2) соответственно.

A1  ^0.50 Какой из лучей ($a$ или $b$) имеет большую скорость распространения в полусфере? Обоснуйте свой ответ.

A2  ^1.00 При постепенном увеличении угла $\theta_i$ до $45^\circ$ луч $b$ перестает выходить из полусферы. То же происходит с лучом $a$ при $\theta_i = 50^\circ$. Вычислите разность показателей преломления лучей при распространении в полусфере.

Часть B. Цилиндрический стержень (3.5 балла)

Цилиндрический стержень, имеющий показатель преломления $n_1 = 1.50$, находится в воздухе (показатель преломления $n_2 = 1.00$). Левый конец стержня покрыт полимером с показателем преломления $n_3 = 1.40$ (см. рис. 3). Луч попадает из полимера в стержень под углом $\theta$ к его оси, как указано на рисунке. При некоторых значениях $\theta$ возможна ситуация, когда весь попавший в стержень свет, полностью отражаясь от стенок стержня, возвращается в полимер.

Цилиндрический стержень с показателем преломления $n_1$. Левый конец покрыт полимером с показателем преломления $n_3$. Коэффициент преломления воздуха $n_2$. Выполняется соотношение $n_2 < n_3 < n_1$.

B1  ^2.00 Определите диапазон углов $\theta$, соответствующих описанной ситуации.

B2  ^1.50

Как изменится полученный ответ, если

1. Правый конец стержня покрыт толстым слоем масла с показателем преломления $1.60$?
2. Вся конструкция погружена в воду с показателем преломления $1.33$?

Часть C. Оптоволокно (5.0 баллов)

Оптоволокно цилиндрического сечения состоит из двух частей: сердцевины и оболочки (см. рис. 4). Показатель преломления сердцевины $n_1$, оболочки — $n_2$, причём $n_2 < n_1$. Показатель преломления воздуха $n_3 = 1$.

C1  ^2.00 Рассмотрим луч, распространяющийся в плоскости, содержащей ось оптоволокна. Обозначим за $\theta_a$ максимальный угол между входящим лучом и осью оптоволокна, при котором свет распространяется в сердцевине, не выходя из неё. Получите выражение для $\theta_a$. Ответ выразите через $n_1$, $n_2$, $n_3$.

C2  ^2.60 Пусть расмотренное оптоволокно согнули так, что радиус кривизны его оси равен $1.0~см$. Диаметр сердцевины равен $50 мкм$. Каким будет значение угла $\theta_a$, при котором никакой из лучей не выйдет за пределы сердцевины?

C3  ^0.40 Пусть показатель преломления сердцевины равен $1.45$, показатель преломления оболочки равен $1.44$. Вычислите значения углов $\theta_a$ для случаев C1 и C2, когда оптоволокно находится в воздухе.