Введение

Распылители воды используются в различных местах, таких как фермы, парки и т. п. Рассмотрим распылитель полусферической формы радиусом $r$, расположенный на высоте $h$ от земли, как показано на Рис. 1. Будем считать, что радиус полусферы много меньше расстояний $R$, поэтому распылитель можно считать точечным. Вода вытекает из небольших одинаковых отверстий в корпусе распылителя. Пусть $\rho(\theta)$ – количество этих отверстий на единицу площади при угле $\theta$. Вода разбрызгивается с одинаковой начальной скоростью $v_0$ во всех направлениях.

Часть A: Равномерное распределение (6.0 баллов)

Рассмотрим равномерное распределение отверстий по поверхности полусферы (то есть $\rho(\theta)$ является постоянной величиной).

A1  ^0.50 Найдите зависимость от времени t координат $x(t)$ и $y(t)$ небольшого фрагмента струи, выпущенного под углом $\theta$ с начальной скоростью $v_0$.

A2  ^1.00 Найдите уравнение траектории струи $y(x,\theta)$. В ответе используйте только одну тригонометрическую функцию (например, только синус, косинус или тангенс). Считайте, что $\theta>0$.

A3  ^3.00 Огибающая – граничная кривая, охватывающая все траектории движения воды (т.е. за неё вода в процессе движения попасть не может). Получите уравнение огибающей $y(x)$. Зарисуйте возможные траектории и их огибающую.

A4  ^1.00 Найдите зависимость $R=R(\theta)$ (см. рис. 1).

A5  ^0.50 Покажите, что в пределе $h \rightarrow 0$ верно $R=\cfrac{v_0^2}{g}\sin{2\theta}$.

Часть B: Неравномерное распределение (4.0 балла)

Теперь рассмотрим неравномерное распределение $\rho(\theta)$.

B1  ^1.00 Рассмотрим тонкое кольцо радиусом $R$ и шириной $dR$, на которое попадает вода, вылетающая из распылителя. Найдите площадь $dA_W$ этого кольца. Ответ выразите через $R$, $R'$ и $d\theta$, где $R' = \cfrac{dR}{d\theta}$.

B2  ^1.00 Найдите $\rho(\theta)$, при котором земля поливается равномерно по площади. Выразите ответ через $R$, $R'$ и другие величины. Рассмотрите только те значения $\theta$, при которых выполнено $R'>0$.

B3  ^2.00 Найдите $\rho(\theta)$, при котором земля поливается равномерно в случае $h=0$ и $\theta < 45^\circ$.