| 1 Правильный ответ для координаты $x$: $$x(t) =( v_0 \cos\theta )t.$$ | 0.20 |
|
| 2 Правильный ответ для координаты $y$: $$y(t) =h+ (v_0 \sin\theta)t - \cfrac{gt^2}{2}.$$ | 0.30 |
|
| 1 Уравнение траектории получается путём исключения времени из результатов прошлого пункта. | 0.10 |
|
| 2 Выражение для времени: $$t = \cfrac{x}{v_0 \cos\theta}.$$ | 0.10 |
|
| 3 Постановка выражения для времени: $$y = h + x\cdot\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta} - \cfrac{gx^2}{2v_0^2}\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}.$$ | 0.20 |
|
| 4 Использовано определение тангенса: $$y = h + x\tan\theta - \cfrac{gx^2}{2v_0^2}\cdot\sec^2\theta.$$ | 0.20 |
|
| 5 Записана связь секанса и тангенса: $$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta.$$ | 0.10 |
|
| 6 Итоговый ответ: $$y = h + x\tan\theta - \cfrac{gx^2}{2v_0^2}\cdot(1 + \tan^2\theta).$$ | 0.30 |
|
| 1 Уравнение траектории переписано в виде квадратной функции от $\tan\theta$. | 0.20 |
|
| 2 Полученное выражение: $$\left(\cfrac{gx^2}{2v_0^2}\right)\tan^2\theta - x\tan\theta + \left(y'+\cfrac{gx^2}{2v_0^2}\right) = 0,$$ где $y' = y-h$. | 0.50 |
|
| 3 После замены $u = \tan\theta$ получено: $$au^2+bu+c = 0,$$ где: $$a = \cfrac{gx^2}{2v_0^2},\quad b=-x,\quad c = y'+\cfrac{gx^2}{2v_0^2}.$$ | 0.30 |
|
| 4 Корни квадратного уравнения: $$u = \cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ | 0.20 |
|
| 5 Для существования действительных корней необходимо: $$b^2-4ac\geqslant0.$$ | 0.20 |
|
| 6 Постановка коэффициентов уравнения: $$x^2 - 4\left(\cfrac{gx^2}{2v_0^2}\right)\left(y'+\cfrac{gx^2}{2v_0^2}\right)\geqslant0.$$ | 0.40 |
|
| 7 Получено неравенство для $y'$: $$y' \leqslant \cfrac{v_0^2}{2g}-\cfrac{gx^2}{2v_0^2}.$$ | 0.20 |
|
| 8 Уравнение для огибающей: $$y' = \cfrac{v_0^2}{2g}-\cfrac{gx^2}{2v_0^2}.$$ | 0.20 |
|
| 9 Уравнение огибающей в начальных координатах: $$y = h+\cfrac{v_0^2}{2g}-\cfrac{gx^2}{2v_0^2}.$$ | 0.30 |
|
10
Рисунок огибающей и траекторий.
|
0.50 |
|
| 1 Из уравнения траектории получено: $$0 = h + R\tan\theta - \cfrac{gR^2}{2v_0^2}\cdot(1 + \tan^2\theta).$$ | 0.20 |
|
| 2 Получено квадратное уравнение на $R$: $$\cfrac{g}{2v_0^2}(1 + \tan^2\theta)R^2 - \left(\tan\theta\right)R - h =0.$$ | 0.20 |
|
| 3 Сделаны замены: $$a'R^2+b'R+c' = 0,$$ где: $$a' = \cfrac{g}{2v_0^2}(1 + \tan^2\theta),\quad b'=-\tan\theta,\quad c' = -h.$$ | 0.20 |
|
| 4 Решение квадратного уравнения: $$R = \cfrac{-b'\pm\sqrt{b'^2-4a'c'}}{2a'}.$$ | 0.10 |
|
| 5 Выражение через начальные величины: $$R = \cfrac{\tan\theta\pm\sqrt{\tan^2\theta+4 \cfrac{g}{2v_0^2}(1 + \tan^2\theta)h}}{ \cfrac{g}{v_0^2}(1 + \tan^2\theta)}.$$ | 0.30 |
|
| 1 Подставлено $h = 0$: $$R = \cfrac{\tan\theta\pm\sqrt{\tan^2\theta}}{ \cfrac{g}{v_0^2}(1 + \tan^2\theta)}.$$ | 0.20 |
|
| 2 Получено: $$R = \cfrac{v_0^2}{g}\sin 2\theta.$$ | 0.30 |
|
| 1 Используется, что $R = R(\theta)$. | 0.20 |
|
| 2 Производная $R$: $$\cfrac{dR}{d\theta} = R'(\theta).$$ | 0.20 |
|
| 3 Связь дифференциалов: $$dR = R'(\theta) d\theta.$$ | 0.20 |
|
| 4 Площадь выражена через $dR$: $$dA_W = 2\pi R dR.$$ | 0.20 |
|
| 5 Итоговый ответ: $$dA_W = 2\pi R R'(\theta) d\theta.$$ | 0.20 |
|
| 1 Количество отверстий, поливающих рассматриваемое в прошлом пункте кольцо: $$dA_H = \rho(\theta) \cot 2\pi r\cos\theta \cdot rd\theta.$$ | 0.20 |
|
| 2 Условие равномерной поливки: $$dA_H = \rho(\theta) \cot 2\pi r\cos\theta \cdot rd\theta \propto 2\pi R R'(\theta) d\theta = dA_W.$$ | 0.40 |
|
| 3 Выражение для $\rho(\theta)$: $$\rho(\theta) \propto \cfrac{R(\theta) R'(\theta)}{\cos\theta}.$$ | 0.30 |
|
| 4 Указано, что при полученном распределении полив будет равномерным при всех рассматриваемых значениях углов. | 0.10 |
|
| 1 Выражение для $R$: $$R(\theta) = \cfrac{v_0^2}{g}\sin 2\theta.$$ | 0.20 |
|
| 2 Выражение для $R'$: $$\cfrac{dR(\theta)}{d\theta} = \cfrac{2v_0^2}{g}\cos 2\theta.$$ | 0.20 |
|
| 3 Связь дифференциалов: $$dR(\theta) = \cfrac{2v_0^2}{g}\cos 2\theta \cdot d\theta.$$ | 0.10 |
|
| 4 Выражение для площади кольца: $$dA_W = 2\pi\left(\cfrac{v_0^2}{g}\sin 2\theta\right)\left(\cfrac{2v_0^2}{g}\cos 2\theta\right)d\theta.$$ | 0.20 |
|
| 5 Раскрыты скобки: $$dA_W = 2\pi\left(\cfrac{v_0^2}{g}\right)^2 2\sin 2\theta\cos 2\theta\cdot d\theta.$$ | 0.20 |
|
| 6 Использована формула синуса двойного угла: $$dA_W = 2\pi\left(\cfrac{v_0^2}{g}\right)^2 \sin 4\theta\cdot d\theta.$$ | 0.10 |
|
| 7 Получено: $$dA_W \propto \sin 4\theta\cdot d\theta.$$ | 0.10 |
|
| 8 Записано выражение для $dA_H$. | 0.10 |
|
| 9 Выражение для $dA_H$: $$dA_H = \rho(\theta) \cot 2\pi r\cos\theta \cdot rd\theta \propto \rho(\theta)\cos\theta d\theta.$$ | 0.10 |
|
| 10 Условие равномерной поливки $dA_W \propto dA_H$. | 0.10 |
|
| 11 Получено: $$dA_H \propto \rho(\theta)\cos\theta d\theta \propto \sin 4\theta d\theta.$$ | 0.30 |
|
| 12 Итоговый ответ: $$\rho(\theta) \propto \cfrac{\sin 4\theta}{\cos\theta}.$$ | 0.20 |
|
| 13 Указано, что при полученном распределении полив будет равномерным при всех рассматриваемых значениях углов. | 0.10 |
|