По данным, полученным астрономами в конце XX – начале XXI века, светящиеся объекты в наблюдаемой части Вселенной последние $2.5 – 4~\text{млн. лет}$ удаляются друг от друга с увеличивающейся скоростью. Этот факт не удалось объяснить в рамках космологических моделей (которые должны описать строение и динамику изменений Вселенной), в которых считалось, что Вселенная состоит только из обычной материи. При этом неважно, является ли эта материя видимой (так называют разновидности материи, которые излучают или рассеивают электромагнитные волны) или темной (невидимой) – главное, что она обычным образом участвует в гравитационном взаимодействии. Поэтому в современной космологии вводят в модели "вакуумоподобные" формы материи с необычными свойствами – разные формы такой материи теоретики объединяют под названием «темная энергия». Конечно, профессиональные модели строятся на базе метрических теорий гравитации и квантовой теории поля с использованием самой современной математики. Однако многие интересные эффекты современной космологии можно понять и на базе более простых моделей. В этой задаче Вам необходимо изучить одну из них. Назовем ее ДКМ – «Демонстрационная Космологическая Модель».
В модели ДКМ наряду с обычным веществом, которое подчиняется закону всемирного тяготения Ньютона, существует еще один, весьма необычный вид материи, который мы назовем, как и в некоторых профессиональных моделях, «квинтэссенцией». Квинтэссенция, смешиваясь с обычным веществом, дает отрицательный вклад в его гравитационную массу, но при этом создает еще и давление, «расталкивающее» частицы обычного вещества. Давление квинтэссенции равно объемной плотности ее внутренней энергии и определяется ее плотностью массы: 
\[p_q = A \left( - \rho_1 \right)^{5/3},\]где $A=\text{const}$. Отметим, что $\rho_q=M_q/V_q<0$, причем $M_q$ - это и есть отрицательный вклад квинтэссенции в массу Вселенной. Полные массы обычного вещества $M_s>0$ и квинтэссенции $M_q<0$, а также полная энергия Вселенной остаются неизменными, причем $M_s + M_q > 0$. Кроме того, в этой модели считается, что в любой момент времени Вселенная – это шар переменного радиуса $R(t)$, заполненный однородно распределенными по объему обычным веществом и квинтэссенцией. Движение материи в ДКМ описывается законами ньютоновской механики. Квинтэссенция не дает вклада в кинетическую энергию Вселенной (убыль ее энергии при расширении переходит в кинетическую энергию обычного вещества).

Примечание: если масса системы увеличивается от $m$ до $m + \Delta m$ без каких-либо изменений в относительном распределении массы, то гравитационная энергия увеличивается на \[ \Delta E_G = \int\limits_0^{\Delta m} \varphi \, dm,\] где $\varphi$ это потенциал в точке $dm$. Потенциал $\varphi$ выбран так, что $\varphi=0$ на бесконечности.

A1 Найдите полную энергию $E$ вселенной как функцию ее радиуса $R$ в виде
\[E = -\frac{\alpha}{R} + \frac{\beta}{R^2} + E_K,\]где $E_K$ - кинетическая энергия вселенной.

A2 В каких пределах может изменяться радиус Вселенной при заданных $M_s$, $M_q$, $A$ и $E$, где $E$ - полная энергия Вселенной? Запишите выражение через $\alpha$, $\beta$ и $E$.

A3 Может ли Вселенная ДКМ быть статичной (то есть иметь постоянный радиус)? Если да, опишите это количественно.

Рассмотрим один конкретный вариант Вселенной ДКМ. Пусть полная энергия этой Вселенной равна нулю, и ее история начинается с нулевой скоростью расширения от минимального возможного радиуса. Дополнительно предположим, что в этой Вселенной выполняется закон Хаббла (который выполняется, в частности, для наблюдаемой части нашей реальной Вселенной): в любой момент времени распределение скоростей обычного вещества на расстоянии $r \leq R$ от центра Вселенной описывается формулой
\[\nu(r,t) = \frac{r}{R(t)} \nu(R,t),\] где $R$ - радиус вселенной.

A4 В течении какого времени после старта Вселенная будет расширяться с положительным ускорением?