A1  ^?? Найдите полную энергию $E$ вселенной как функцию ее радиуса $R$ в виде
\[E = -\frac{\alpha}{R} + \frac{\beta}{R^2} + E_K,\]где $E_K$ - кинетическая энергия вселенной.

Пусть $M=M_s + M_q$, вычислим гравитационную энергию вселенной $E_G$ как функцию её радиуса $R$. Важно, что $M>0$, поэтому гравитация сжимает вселенную в ДКМ так же, как она сжимает обычную материю с общей массой $M$.

Закон Гаусса для гравитационного поля имеет вид \[\int_\Gamma \vec{g} \cdot d\vec{S} = -4\pi Gm,\] где $m$ масса, заключенная внутри замкнутой поверхности $\Gamma$. Выберем сферу радиуса $r$ с центром, совпадающим с центром вселенной. Тогда
\[ - 4\pi r^2 g = -4\pi G m\frac{r^3}{R^3} \quad \Rightarrow \quad g = GM \frac{r}{R^3}.\]Гравитационный потенциал на поверхности вселенной $\varphi(R) = -GM/R$, поэтому
\[ \varphi(r) = -\frac{GM}{R} - \frac{GM}{R^3}\int\limits_r^R r \, dr = - \frac{3GM}{2R} + \frac{GMr^2}{2R^3}.\]Теперь мы можем рассчитать изменение $\Delta E_G$ гравитационной потенциальной энергии при $M \to M + \Delta M$.
\[\Delta E_G = \int\limits_0^{R} \left( - \frac{3GM}{2R} + \frac{GMr^2}{2R^3} \right) \frac{4\pi r^2 dr}{\frac{4}{3}\pi R^3} \Delta M = -\frac{3GM\Delta M}{2R}+\frac{3GM\Delta M}{10R} = -\frac{6 GM \Delta M}{5R}.\]Таким образом
\[E_G = -\frac{6G}{5R} \int\limits_0^{M} m \, dm = -\frac{3GM^2}{5R}.\]Внутренняя энергия квинтэссенции $E_q$ равна
\[ E_q = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot A \left( \frac{-M_q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right)^{5/3} = A \left( \frac{3 \pi}{4} \right)^{2/3} \frac{\left(-M_q \right)^{5/3}}{R^2},\]Таким образом полная энергия вселенной $E$ равна
\[ E = -\frac{3G(M_s + M_q)^2}{5R} + A \left( \frac{3 \pi}{4} \right)^{2/3} \frac{\left(-M_q \right)^{5/3} }{R^2} +E _K\]

A2  ^?? В каких пределах может изменяться радиус Вселенной при заданных $M_s$, $M_q$, $A$ и $E$, где $E$ - полная энергия Вселенной? Запишите выражение через $\alpha$, $\beta$ и $E$.

Кинетическая энергия вселенной $E_K$ не меньше нуля, поэтому
\[ E_K = E + \frac{\alpha}{R}- \frac{\beta}{R^2} \geq 0\]Часть этого уравнения, зависящая от $R$ является бесконечно отрицательной при $R \to 0$ и стремится к нулю с положительной стороны при $R \to +\infty$, поэтому она определенно имеет максимум.

Домножим уравнение для $E_K$ на $R^2$:
\[ER^2 + \alpha R - \beta \geq 0, \quad \mathcal{D} = \alpha^2 + 4 \beta E.\]

Для $E \neq 0$ имеем:

• Если $\mathcal{D} < 0$, корней для $R$ нет, поэтому существование такой вселенной невозможно
• Если $\mathcal{D} = 0$, есть только один корень \[R=\frac{-\alpha}{2E}\] который больше нуля, так что эта вселенная является решением.
• Если $\mathcal{D} > 0$ есть два корня \[R = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 + 4 \beta E}}{2E}\]Как видно из рисунка выше, если $E<0$, вселенная может существовать, если её радиус $R$ находится в диапазоне между решениями, а если $E \geq 0$, вселенная может существовать для любого $R$ больше положительного корня.

Для $E=0$ есть корень $R=\beta/\alpha$ и любой радиус $R$, который больше или равен этому значению, возможен.

A3  ^?? Может ли Вселенная ДКМ быть статичной (то есть иметь постоянный радиус)? Если да, опишите это количественно.

Поскольку потенциальная энергия имеет минимум, существует точка равновесия. Если $E=-\alpha^2/4\beta$, то радиус $R$ вселенной постоянен и равен
\[ R = \frac{2\beta}{\alpha} \]

A4  ^?? В течении какого времени после старта Вселенная будет расширяться с положительным ускорением?

Поскольку $v(R,t) = \dot{R}$, найдем кинетическую энергию вселенной:
\[E_K = \int\limits_0^R \frac{M_s r^2 \dot{R}^2}{2R^2} \frac{4\pi r^2 \, dr}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3M_s\dot{R}^2}{2R^5} \int\limits_0^R r^4 \, dr = \frac{3 M_s \dot{R}^2}{10}.\]Таким образом
\[ \frac{3 M_s \dot{R}^2}{10} = \gamma \dot{R}^2 = \frac{\alpha}{R}- \frac{\beta}{R^2}\]и минимальный радиус вселенной равен $R_0=\beta/\alpha$. Пусть скорость $\dot{R}$ достигает своего максимума при $R=R_1$, тогда
\[ \left( \frac{\alpha}{R} - \frac{\beta}{R^2} \right)' \bigg|_{R=R_1} = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{\alpha}{R_1^2}+\frac{2\beta}{R_1^3} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_1 = \frac{2 \beta}{\alpha} = 2 R_0.\]Уравнение движения:
\[ \frac{dR}{\sqrt{\frac{\alpha}{R} - \frac{\beta}{R^2}}} = \frac{dt}{\sqrt{\gamma}}.\]Используем подстановку $R = R_0 x$, тогда
\[ \int\limits_{R_0}^{2R_0}\frac{dR}{\sqrt{\frac{\alpha}{R} - \frac{\beta}{R^2}}} = \frac{\sqrt{\beta^3}}{\alpha^2}\int\limits_1^2\frac{x \, dx}{ \sqrt{ x -1}} = \frac{\sqrt{\beta^3}}{\alpha^2} \left( \int\limits_1^2 \frac{(x-1) \, d(x-1)}{\sqrt{x-1}} +\int\limits_1^2 \frac{d(x-1)}{\sqrt{x-1}} \right) = \frac{\sqrt{\beta^3}}{\alpha^2} \left( \frac{2}{3} + 2\right) = \frac{8 \sqrt{\beta^3}}{3 \alpha^2}.\]Таким образом
\[T = \frac{8 \sqrt{\beta^3 \gamma}}{3 \alpha^2} = \sqrt{\frac{10}{3}} \frac{5}{3 \pi} \frac{\sqrt{M_s} \left(-M_q^{5/3}A \right)^{3/2}}{G^2(M_s+M_q)^4}\]