Полное время движения муравья складывается из времени движения $t_{1}$ по участку $A B$, времени $t_{2}$ на участке $B C$ и времени $t_{3}$ на участке $C D$. Пусть $A B=l$.
1. Восстановим из точек $B$ и $C$ перпендикуляры к траектории движения муравья, они являются радиусами дуги $B C$ (см. рисунок). Пусть $\angle B O C=\alpha=2 l / R$. Поскольку $l \ll R$, то $\sin \alpha \approx \alpha=2 l / R$. Ускорение на прямолинейном участке $A B$ равно $a_{1}=g \sin \alpha=2 g l / R$.
$$
\text { Поскольку } l=\frac{a_{1} t_{1}^{2}}{2}, \text { то } \quad t_{1}=\sqrt{\frac{2 l}{a_{1}}}=\sqrt{\frac{R}{g}}.
$$
Скорость в конце этого участка $v_{B}=\sqrt{2 g h_{1}}=\sqrt{2 g l \sin \alpha}=2 l \sqrt{g / R}$.
2. Вычислим $t_{2}$. Из закона сохранения энергии найдём скорость $v_{C}$ муравья в точке $C$. Это будет его наибольшая скорость.
$$
m g\left(h_{1}+h_{2}\right)=\frac{m v_{C}^{2}}{2},
$$
следовательно,
$$
v_{C}=\sqrt{2 g\left(h_{1}+h_{2}\right)}.
$$
Найдём $h_{1}$ и $h_{2}$.
$h_{1}=l \sin \alpha=2 \frac{l^{2}}{R}, \quad h_{2}=R(1-\cos \alpha)=2 R \sin ^{2}(\alpha / 2)=2 R(\alpha / 2)^{2}=2 \frac{l^{2}}{R}$.
Получаем $h_{1}+h_{2}=4 \frac{l^{2}}{R}$, таким образом, $v_{C}=2 l \sqrt{\frac{2 g}{R}}$.
На участке $B C$ движение муравья аналогично колебательному движению математического маятника с длиной подвеса $R$. Его циклическая частота $\omega=\sqrt{g / R}$. Время $t_{2}$ движения муравья из точки $B$ в точку $C$ равно времени его обратного движения из точки $C$ в точку $B$, которое можно найти из уравнения гармонических колебаний:
$$
v_{B}=v_{C} \cos \left(\sqrt{\frac{g}{R}} t_{2}\right),
$$
откуда
$$
t_{2}=\sqrt{\frac{R}{g}} \arccos \frac{v_{B}}{v_{C}}=\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{R}{g}}.
$$
3. На отрезке $C D$ муравей движется равномерно со скоростью $v_{C}$, следовательно, $t_{3}=\frac{3 l}{v_{C}}=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{R}{2 g}}$.
Полное время движения муравья
$$
t=t_{1}+t_{2}+t_{3}=\sqrt{\frac{R}{g}}\left(1+\frac{\pi}{4}+\frac{3}{2 \sqrt{2}}\right) \approx 2.85 \sqrt{\frac{R}{g}}.
$$