A1  ^1.70 При фиксированном $R$ проведите точные измерения периода $T(r)$. Запишите, какие значения $r$ и расстояния $z_0$ между дисками вы выбираете при сборке установки для этого пункта, и чему равно измеренное вами $R$. Постройте линеаризованный график и определите $\beta$.

Соберем установку с $z_0 = 50.0~\text{см}$ и после каждого изменения $r$ будем корректировать длину нитей так, чтобы $z_0$ оставалось прежним. Измерим расстояние от верхнего конца нитей до оси установки: $R = 5.0~\text{см}$. Для каждого из доступных $r$ измерим суммарное время $N$ колебаний. Поскольку зависимость $T(r)$ имеет описанный в условии вид $T=C \cdot R^\alpha r^\beta$, для ее линеаризации построим график $\ln T (\ln r)$. Его угловой коэффициент будет равен $\beta$.

Соберем установку с $z_0 = 50.0~\text{см}$ и после каждого изменения $r$ будем корректировать длину нитей так, чтобы $z_0$ оставалось прежним. Измерим расстояние от верхнего конца нитей до оси установки: $R = 5.0~\text{см}$. Для каждого из доступных $r$ измерим суммарное время $N$ колебаний. Поскольку зависимость $T(r)$ имеет описанный в условии вид $T=C \cdot R^\alpha r^\beta$, для ее линеаризации построим график $\ln T (\ln r)$. Его угловой коэффициент будет равен $\beta$.

По графику определяем $\beta = -0.52 \approx -0.5$.

По графику определяем $\beta = -0.52 \approx -0.5$.

A2  ^0.30 Чему равна $\alpha$? Объясните свой ответ.

Для обоснования этого равенства можно привести любой из следующих аргументов:

1. Геометрия установки определяется величинами $R$ и $r$ равноправно. Например, на высоту подъема нижнего диска при его повороте на фиксированный угол влияют оба этих радиуса, и высота не изменится при "перевороте" установки. Таким образом, $R$ и $r$ должны входить в формулу для $T$ симметрично, и формула не должна меняться при замене $R\leftrightarrow r$.

2. Попробуем "угадать" примерный вид формулы $T (R, r, z_0, I, m, g)$. По аналогии с периодом колебаний математического маятника, а также с учетом найденного $\beta = -0.5$, имеем: $T \propto \sqrt{\cfrac{z_0}{gr}}$. Чтобы размерность массы сократилась, в формулу должно входить отношение $I/m$. Также, по условию, $T \propto R^\alpha$. Причем ясно, что при увеличении момента инерции, а также при уменьшении $R$, период возрастет. Таким образом, имеем:
$$T \propto \sqrt{\cfrac{z_0}{gr} \cdot \left( \cfrac{I}{m} \right)^\gamma}\cdot \cfrac{1}{R^{|\alpha|}},$$
где $\gamma>0$.
Применим метод размерностей:
$$с = \sqrt{\cfrac{\text{с}^2}{\text{м}} \cdot \left(\text{м}^2 \right) ^\gamma}\cdot \cfrac {1}{\text{м}^{|\alpha|}}$$
Получаем условие на степени: $2\gamma = 1+2|\alpha|$. Простейшее решение этого уравнения: $\alpha = -0.5$, $\gamma = 1$. Для подтверждения выбора такой пары корней можно провести, например, аналогию с формулой колебанияй стержня, подвешенного на двух нитях.

3. Явная формула, которая будет получена в пункте B3, подтверждает найденный ранее коэффициент $\beta = -0.5$ и дает $\alpha = -0.5$.

Для обоснования этого равенства можно привести любой из следующих аргументов:

1. Геометрия установки определяется величинами $R$ и $r$ равноправно. Например, на высоту подъема нижнего диска при его повороте на фиксированный угол влияют оба этих радиуса, и высота не изменится при "перевороте" установки. Таким образом, $R$ и $r$ должны входить в формулу для $T$ симметрично, и формула не должна меняться при замене $R\leftrightarrow r$.

2. Попробуем "угадать" примерный вид формулы $T (R, r, z_0, I, m, g)$. По аналогии с периодом колебаний математического маятника, а также с учетом найденного $\beta = -0.5$, имеем: $T \propto \sqrt{\cfrac{z_0}{gr}}$. Чтобы размерность массы сократилась, в формулу должно входить отношение $I/m$. Также, по условию, $T \propto R^\alpha$. Причем ясно, что при увеличении момента инерции, а также при уменьшении $R$, период возрастет. Таким образом, имеем:
$$T \propto \sqrt{\cfrac{z_0}{gr} \cdot \left( \cfrac{I}{m} \right)^\gamma}\cdot \cfrac{1}{R^{|\alpha|}},$$
где $\gamma>0$.
Применим метод размерностей:
$$с = \sqrt{\cfrac{\text{с}^2}{\text{м}} \cdot \left(\text{м}^2 \right) ^\gamma}\cdot \cfrac {1}{\text{м}^{|\alpha|}}$$
Получаем условие на степени: $2\gamma = 1+2|\alpha|$. Простейшее решение этого уравнения: $\alpha = -0.5$, $\gamma = 1$. Для подтверждения выбора такой пары корней можно провести, например, аналогию с формулой колебанияй стержня, подвешенного на двух нитях.

3. Явная формула, которая будет получена в пункте B3, подтверждает найденный ранее коэффициент $\beta = -0.5$ и дает $\alpha = -0.5$.

B1  ^0.30 Запишите, какое значение $z_0$ вы выбираете при сборке установки. Измерьте и запишите $r_1$ и $r_2$ — внешний и внутренний радиусы шайбы соответственно. Рассчитайте теоретически численное значение величины $\cfrac{I}{m}$ для шайбы.

Измеряем величины $z_0 = 46.0~\text{см}, \ r_1 = 1.3~\text{см}, \ r_2 = 3.5~\text{см}$.
Момент инерции шайбы (кольца) можно теоретически рассчитать так ($\rho$ - плотность стали, $h$ - толщина шайбы):
$$\cfrac{I}{m} = \cfrac{\cfrac{\rho (h\pi r_2^2)r_2^2}{2} - \cfrac{\rho (h\pi r_1^2)r_1^2}{2}}{\rho (h\pi r_2^2) - \rho (h\pi r_1^2)} = \cfrac{r_1^2 + r_2^2}{2} = 6.97\cdot10^{-4}~\text{м}^2.$$

Измеряем величины $z_0 = 46.0~\text{см}, \ r_1 = 1.3~\text{см}, \ r_2 = 3.5~\text{см}$.
Момент инерции шайбы (кольца) можно теоретически рассчитать так ($\rho$ - плотность стали, $h$ - толщина шайбы):
$$\cfrac{I}{m} = \cfrac{\cfrac{\rho (h\pi r_2^2)r_2^2}{2} - \cfrac{\rho (h\pi r_1^2)r_1^2}{2}}{\rho (h\pi r_2^2) - \rho (h\pi r_1^2)} = \cfrac{r_1^2 + r_2^2}{2} = 6.97\cdot10^{-4}~\text{м}^2.$$

B2  ^0.40 Проведите точные измерения периода крутильных колебаний шайбы в воде. Рассчитайте эффективное ускорение свободного падения $g_\text{эфф}$.

Период колебаний выражается прежней формулой: $T=2\pi\sqrt{\cfrac{I}{m}\cdot \cfrac{z_0}{g_\text{эфф}Rr_2}}$. Поэтому $g_\text{эфф} = \cfrac{I}{m} \cdot \cfrac{z_0}{Rr_2} \left(\cfrac{2\pi}{T}\right)^2 = 8.4~\cfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

$\textit{Примечание.}$ Похожий результат получается, если принять $\rho_\text{шайбы} = \rho_\text{стали} = 7800~\cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ и учесть силу Архимеда: $g_\text{эфф} = \cfrac{\rho_\text{стали} - \rho_\text{воды}}{\rho_\text{стали}} = 8.6~\cfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Период колебаний выражается прежней формулой: $T=2\pi\sqrt{\cfrac{I}{m}\cdot \cfrac{z_0}{g_\text{эфф}Rr_2}}$. Поэтому $g_\text{эфф} = \cfrac{I}{m} \cdot \cfrac{z_0}{Rr_2} \left(\cfrac{2\pi}{T}\right)^2 = 8.4~\cfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

$\textit{Примечание.}$ Похожий результат получается, если принять $\rho_\text{шайбы} = \rho_\text{стали} = 7800~\cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ и учесть силу Архимеда: $g_\text{эфф} = \cfrac{\rho_\text{стали} - \rho_\text{воды}}{\rho_\text{стали}} = 8.6~\cfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

B4  ^1.00 Как вы заметили, колебания довольно быстро затухают. Пусть $\varphi(i)$ – амплитуда $i$-го колебания. Снимите зависимость $\varphi(i)$. Возможно, для этого потребуется несколько раз запускать колебания с одинаковыми начальными условиями. Постройте линеаризованный график и по нему рассчитайте логарифмический декремент затухания $d$.

Определение логарифмического декремента $d=\text{ln}\cfrac{\varphi_i}{\varphi_{i+1}}$ преобразуется к выражению $\ln\varphi_i = \ln\varphi_0 - id$. Поэтому график $\ln \varphi_i (i)$ должен быть линейным с коэффициентом $(-d)$.

По коэффициенту наклона построенного линеаризованного графика определяем $d = 0.11$.

Определение логарифмического декремента $d=\text{ln}\cfrac{\varphi_i}{\varphi_{i+1}}$ преобразуется к выражению $\ln\varphi_i = \ln\varphi_0 - id$. Поэтому график $\ln \varphi_i (i)$ должен быть линейным с коэффициентом $(-d)$.

По коэффициенту наклона построенного линеаризованного графика определяем $d = 0.11$.

B5  ^0.30 Используя $d$, оцените толщину $h$ движущихся слоёв воды.

Ранее получено выражение $d= \cfrac{T\eta\pi (r_2^2-r_1^2)}{hm}$. Воспользуемся измеренными и рассчитанными величинами, а также приведенным в условии значением $m = 80~\text{г}$, чтобы рассчитать $h = \cfrac{T\eta\pi (r_2^2-r_1^2)}{md} = 0.31~\text{мм}$.

Ранее получено выражение $d= \cfrac{T\eta\pi (r_2^2-r_1^2)}{hm}$. Воспользуемся измеренными и рассчитанными величинами, а также приведенным в условии значением $m = 80~\text{г}$, чтобы рассчитать $h = \cfrac{T\eta\pi (r_2^2-r_1^2)}{md} = 0.31~\text{мм}$.

$\textit{Примечание.}$ Отметим, что в условии была намеренно указана $m = 80~\text{г}$ вместо настоящего значения $120~\text{г}$. Это было сделано для отсечения возможности успешно решить часть C простым взвешиванием гаек на рычаге. Если в расчетах учесть настоящее значение $m$, получится несколько другая оценка: $h = 0.21~{мм}$.

$\textit{Примечание.}$ Отметим, что в условии была намеренно указана $m = 80~\text{г}$ вместо настоящего значения $120~\text{г}$. Это было сделано для отсечения возможности успешно решить часть C простым взвешиванием гаек на рычаге. Если в расчетах учесть настоящее значение $m$, получится несколько другая оценка: $h = 0.21~{мм}$.

C0  ^?? Запишите, какое значение $z_0$ вы выбираете при сборке установки.

C1  ^0.40 Проведите точные измерения периода крутильных колебаний шайбы над доской с магнитами. Рассчитайте эффективное ускорение свободного падения $g_\text{эфф}$.

C2  ^1.00 Как и в предыдущей части, колебания затухающие. Снимите зависимость $\varphi(i)$. Возможно, для этого потребуется несколько раз запускать колебания с одинаковыми начальными условиями. Постройте линеаризованный график и по нему рассчитайте логарифмический декремент затухания $d$.

C3  ^0.30 Рассчитайте численно коээфициент пропорциональности в соотношении $M_\text{маг. тр.}=k\cdot \omega$ между моментом сил магнитного трения и угловой скоростью.

Уравнение колебаний на этот раз выглядит так: $I\ddot \varphi + k\dot\varphi + mg\cfrac{Rr}{z_0} \varphi = 0$. Логарифмический декремент соответствует величине $d=\cfrac{k}{2I}T$. Поэтому коэффициент $k$ можно выразить и рассчитать следующим образом: $k = \cfrac{d\cdot 2I}{T} = \cfrac{2d\cfrac{I}{m}m}{T} = 1.24\cdot 10^{-5}\cfrac{\text{кг}\cdot \text{м}^2}{\text{с}}$.

$\textit{Примечание.}$ Как и в части F, это значение на самом деле надо скорректировать, если учитывать настоящую $m = 120~\text{г}$: тогда $k = 1.87\cdot 10^{-5}\cfrac{\text{кг}\cdot \text{м}^2}{\text{с}}$.

Уравнение колебаний на этот раз выглядит так: $I\ddot \varphi + k\dot\varphi + mg\cfrac{Rr}{z_0} \varphi = 0$. Логарифмический декремент соответствует величине $d=\cfrac{k}{2I}T$. Поэтому коэффициент $k$ можно выразить и рассчитать следующим образом: $k = \cfrac{d\cdot 2I}{T} = \cfrac{2d\cfrac{I}{m}m}{T} = 1.24\cdot 10^{-5}\cfrac{\text{кг}\cdot \text{м}^2}{\text{с}}$.

$\textit{Примечание.}$ Как и в части F, это значение на самом деле надо скорректировать, если учитывать настоящую $m = 120~\text{г}$: тогда $k = 1.87\cdot 10^{-5}\cfrac{\text{кг}\cdot \text{м}^2}{\text{с}}$.

D1  ^0.20 С помощью рычага определите отношения $m_A/m_0$ и $m_B/m_0$ как можно точнее.

D2  ^3.80 Проведите точные измерения периодов колебаний гаек.

Определите $a$ и $b$.

Опишите проводимые вами измерения. Приведите их результаты, в т.ч. геометрические параметры гаек, а также предоставьте все используемые вами теоретические выкладки и расчеты. Запишите, какие значения $r$ и $z_0$ вы выбираете при сборке установки для этого пункта.