Pho.rs: Устойчивость точек Лагранжа

A1 ^0.20 Найдите полную силу притяжения $\vec{F}_g$, действующую на $m$. Выразите ответ через $m$, $M_1$, $M_2$, $\vec{r}$, $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$ и гравитационную постоянную $G$.

1 Ответ:\begin{equation*}
\vec{F}_g = G m M_1 \frac{\vec{r}_1 - \vec{r}}{|\vec{r}_1 - \vec{r}|^3} + G m M_2 \frac{\vec{r}_2 - \vec{r}}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^3}
\end{equation*}

0.20

A2 ^0.20 Считая, что $M_1$, $M_2 \gg m$, найдите угловую скорость $\Omega$ обращения $M_1$ и $M_2$. Считайте, что $M_1$ и $M_2$ движутся по круговым орбитам. Выразите ответ через $G$, $M_1$, $M_2$ и $R$.

1 Ответ: \begin{equation*}
\Omega = \sqrt{\frac{G \left( M_1 + M_2 \right)}{R^3}}
\end{equation*}

0.20

A3 ^0.20 В системе отсчета, вращающейся вместе с $M_1$ и $M_2$, на тело $m$ действуют сила инерции $\vec{F}_{\Omega}$. Найдите $\vec{F}_{\Omega}$. Ответ выразите через $m$, $\Omega$, $\vec{r}$ и скорость $\vec{v}$ тела $m$ во вращающейся системе отсчета.

1 Центробежная сила: $m \Omega^2 \vec{r}$	0.10
2 Сила Кориолиса: $2 m \vec{v} \times \vec{\Omega}$	0.10

A4 ^0.80 Найдите полную силу $\vec{F}$, действующую на $m$. Выразите ответ через координаты $x$, $y$ вектора $\vec{r}$, координаты $v_x$ и $v_y$ вектора $\vec{v}$, $m$, $R$, $\Omega$ и параметр $\alpha = \frac{M_2}{M_1 + M_2}$.

1 Получены координаты $\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} -\alpha R \\ 0 \end{pmatrix}$ (или только $x$ координата)	0.10
2 Получены координаты $\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} \left(1 - \alpha \right) R \\ 0 \end{pmatrix}$ (или только $x$ координата)	0.10
3 Ответ:\begin{multline} F_x = \left( 1 - \alpha \right) \frac{m \Omega^2 R^3}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^3} \cdot \left( - x - \alpha R \right) + \\ + \alpha \frac{m \Omega^2 R^3}{\sqrt{\left( x - \left(1 - \alpha \right) R \right)^2 + y^2}^3} \cdot \left( - x + \left(1 - \alpha \right) R \right) + m \Omega^2 x + 2 m \Omega v_y \end{multline}	0.30
4 Ответ: \begin{equation} F_y = \left( 1 - \alpha \right) \frac{m \Omega^2 R^3}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^3} \cdot \left( -y \right) + \alpha \frac{m \Omega^2 R^3}{\sqrt{\left( x - \left(1 - \alpha \right) R \right)^2 + y^2}^3} \cdot \left( - y \right) + m \Omega^2 y - 2 m \Omega v_x \end{equation}	0.30

B1 ^0.30 В начале рассмотрим точки $L_1$, $L_2$ и $L_3$. Введем параметр $\nu$ – расстояние от $M_1$ до $m$, измеренное в единицах $R$: $x = \left( \nu - \alpha \right) R$. Найдите условие равновесия этих точек. Выразите ответ через $\nu$ и $\alpha$.

1 Ответ:\begin{equation*}
- \frac{\left(1 - \alpha \right) \nu}{|\nu|^3} - \frac{\alpha \left( \nu - 1 \right)}{|\nu-1|^3} + \nu - \alpha = 0
\end{equation*}

0.30

B2 ^0.20 Полученное уравнение приводит к трем случаям (соответствующим трем точкам $L_1$, $L_2$, $L_3$): $\nu < a$, $a < \nu < b$ и $b < \nu$. Найдите $a$ и $b$.

1 $a = 0$	0.10
2 $b = 1$	0.10

B3 ^0.30 В первом случае ($\nu < a$) положим $\nu = -1 + \delta_1$, где $\delta_1$ – малый положительный параметр, зависящий от $\alpha$. Значение $\nu$ определяет положение первой точки Лагранжа: $x = -R \left(1 + \xi_1 \right)$. Выразите $\xi_1$ через $\alpha$.

1 $\delta_1 = \frac{7}{12} \alpha$	0.20
2 $\xi_1 = \frac{5}{12} \alpha$	0.10

B4 ^0.50 Во втором случае ($a < \nu < b$) положим $\nu = 1 - \delta_2$, где $\delta_2$ – малый положительный параметр, зависящий от $\alpha$. Значение $\nu$ определяет положение второй точки Лагранжа: $x = R \left(1 - \xi_2 \right)$. Выразите $\xi_2$ через $\alpha$.

1 $\delta_2 = \sqrt[3]{\alpha/3}$	0.40
2 $\xi_2 = \sqrt[3]{\alpha/3}$	0.10

B5 ^0.50 В третьем случае ($b < \nu$) положим $\nu = 1 + \delta_3$, где $\delta_3$ – малый положительный параметр, зависящий от $\alpha$. Значение $\nu$ определяет положение третьей точки Лагранжа: $x = R \left(1 + \xi_3 \right)$. Выразите $\xi_3$ через $\alpha$.

1 $\delta_3 = \sqrt[3]{\alpha/3}$	0.40
2 $\xi_3 = \sqrt[3]{\alpha/3}$	0.10

B6 ^0.20 Найдите единичный вектор $\vec{e}_{\parallel}$, направленный вдоль $\vec{r}$. Также найдите единичный вектор $\vec{e}_{\perp}$, лежащий в плоскости $xy$ и перпендикулярный к $\vec{r}$. Выразите ответ через $x$ и $y$.

1 $\vec{e}_{\parallel} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{pmatrix}$	0.10
2 $\vec{e}_{\perp} = \begin{pmatrix} -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{pmatrix}$	0.10

B7 ^0.60 Найдите параллельную и перпендикулярную к $\vec{r}$ компоненты полной силы, действующей на $m$, $F_{\parallel}$ и $F_{\perp}$ соответственно. Выразите ответ через $x$, $y$, $m$, $R$, $\Omega$ и $\alpha$. Вы также можете использовать в ответе $r_{m1}$ и $r_{m2}$ – расстояния от точки $m$ до $M_1$ и $M_2$.

1 \begin{equation} F_{\parallel} = \frac{m \Omega^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \left[ \left(1 - \alpha \right) \frac{R^3}{r_{m1}^3} \cdot \left( -x^2 - y^2 - \alpha R x \right) + \alpha \frac{R^3}{r_{m2}^3} \cdot \left( -x^2 - y^2 + \left(1 - \alpha \right) R x\right) + \left( x^2 + y^2 \right) \right] \end{equation}	0.30
2 \begin{equation} F_{\perp} = \frac{m \Omega^2 R^4 y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \left(1 - \alpha \right) \alpha \left( \frac{1}{r_{m1}^3} - \frac{1}{r_{m2}^3} \right) \end{equation}	0.30

B8 ^0.20 Из условия равновесия на $F_{\perp}$ найдите связь между $r_{m1}$ и $r_{m2}$.

1 $r_{m1} = r_{m2}$

0.20

B9 ^0.30 Из условия равновесия на $F_{\parallel}$ найдите связь между $r_{m1}$ и $R$.

1 $r_{m1} = R$

0.30

B10 ^0.40 Определите положение четвертой и пятой точек Лагранжа, $(x_4, y_4)$ и $(x_5, y_5)$ соответственно. Для определенности считайте, что у четвертой точки Лагранжа ордината $y$ положительна.

1 $x_4 = \left(\frac{1}{2} - \alpha \right) R$	0.10
2 $x_5 = \left(\frac{1}{2} - \alpha \right) R$	0.10
3 $y_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} R$	0.10
4 $y_5 = -\frac{\sqrt{3}}{2} R$	0.10

C1 ^1.20 Найдите $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial x}$, $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial y}$, $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial x}$ и $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial y}$ для произвольных $x$, $y$, $v_x$ и $v_y$. Выразите ответ через $x$, $y$, $v_x$, $v_y$, $m$, $R$, $\Omega$ и $\alpha$.
Заметим, что $\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}$.

1 \begin{multline} \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial x} = \Omega^2 R^3 \left[ - \frac{1-\alpha}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^3} + 3\frac{1-\alpha}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^5} \left( x + \alpha R \right)^2 - \right.\\ \left. - \frac{\alpha}{\sqrt{\left( x - \left(1 - \alpha\right) R \right)^2 + y^2}^3} + 3\frac{\alpha}{\sqrt{\left( x - \left( 1 - \alpha\right) R \right)^2 + y^2}^5} \left( x - \left( 1 - \alpha \right) R \right)^2 + \frac{1}{R^3} \right] \end{multline}	0.30
2 \begin{equation} \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial y} = \Omega^2 R^3 \left[ 3\frac{1-\alpha}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^5} \left( x + \alpha R \right) y + 3\frac{\alpha}{\sqrt{\left( x - \left( 1 - \alpha\right) R \right)^2 + y^2}^5} \left( x - \left( 1 - \alpha \right) R \right) y \right] \end{equation}	0.30
3 \begin{equation} \frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial x} = \Omega^2 R^3 \left[ 3\frac{1-\alpha}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^5} \left( x + \alpha R \right) y + 3\frac{\alpha}{\sqrt{\left( x - \left( 1 - \alpha\right) R \right)^2 + y^2}^5} \left( x - \left( 1 - \alpha \right) R \right) y \right] \end{equation}	0.30
4 \begin{multline} \frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial y} = \Omega^2 R^3 \left[ - \frac{1-\alpha}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^3} + 3\frac{1-\alpha}{\sqrt{\left( x + \alpha R \right)^2 + y^2}^5} y^2 - \right.\\ \left. - \frac{\alpha}{\sqrt{\left( x - \left(1 - \alpha\right) R \right)^2 + y^2}^3} + 3\frac{\alpha}{\sqrt{\left( x - \left( 1 - \alpha\right) R \right)^2 + y^2}^5} y^2 + \frac{1}{R^3} \right] \end{multline}	0.30

C2 ^0.40 Найдите $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial v_x}$, $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial v_y}$, $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial v_x}$ и $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial v_y}$. Выразите ответ через $x$, $y$, $v_x$, $v_y$, $m$, $R$, $\Omega$ и $\alpha$.
Заметим, что эти четыре коэффициента одинаковы для всех пяти точек Лагранжа.

1 $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial v_x} = 0$	0.10
2 $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial v_y} = 2 \Omega$	0.10
3 $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial v_x} = -2 \Omega$	0.10
4 $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial v_y} = 0$	0.10

C3 ^0.20 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial x} = c_1 \Omega^2$. Найдите $c_1$.

1 $c_1 = 3$

0.20

C4 ^0.10 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$.

1 Показано, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial F_x} = \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial F_y} = 0$

0.10

C5 ^0.30 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial y} = c_2 \alpha \Omega^2$. Найдите $c_2$.

1 $c_2 = -\frac{7}{8}$

0.30

C6 ^0.50 Решение полученной линейной системы является суммой решений вида $\delta x = A e^{\lambda t}$, $\delta y = B e^{\lambda t}$, где $A$ и $B$ не равны одновременно нулю в общем случае. Найдите уравнение на $\lambda$. Выразите ответ через $\alpha$, $\Omega$ и $\lambda$.

1 Записан второй закон Ньютона	0.10
2 Получена линейная система на $A$ и $B$	0.10
3 Сказано или используется, что система должна быть вырожденной	0.10
4 Ответ: $\lambda^4 + \Omega^2 \lambda^2 \left( 1 + \frac{7}{8} \alpha \right) - \frac{21}{8} \alpha \Omega^4 = 0$	0.20

C7 ^0.50 Существует четыре решения для $\lambda$. Найдите $\lambda$. Определите устойчивость этой точки.

1 $\lambda_1 = i \Omega$	0.10
2 $\lambda_2 = -i\Omega$	0.10
3 $\lambda_3 = \sqrt{\frac{21 \alpha}{8}} \Omega$	0.10
4 $\lambda_4 = -\sqrt{\frac{21 \alpha}{8}} \Omega$	0.10
5 Положение равновесия неустойчиво	0.10

C8 ^0.20 Для системы Солнце-Земля $\alpha = 3.0\cdot10^{-6}$ и $\Omega = 2\pi/{\text{год}}$. Если эта точка устойчива, найдите ее наименьший период колебаний (в днях), если же она неустойчива, найдите наименьшее $\frac{1}{\lambda}$ (тоже в днях).

1 $\frac{1}{\lambda} = \sqrt{\frac{8}{21 \alpha}} \frac{1}{\Omega}$	0.10
2 $\frac{1}{\lambda} = 21\cdot10^3~\text{сут}$	0.10

C9 ^0.20 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial x} = c_3 \Omega^2$. Найдите $c_3$.

1 $c_3 = 9$

0.20

C10 ^0.10 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$.

1 Показано, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial F_x} = \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial F_y} = 0$

0.10

C11 ^0.20 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial y} = c_4 \Omega^2$. Найдите $c_4$.

1 $c_4 = -3$

0.20

C12 ^0.50 Решение полученной линейной системы является суммой решений вида $\delta x = A e^{\lambda t}$, $\delta y = B e^{\lambda t}$, где $A$ и $B$ не равны одновременно нулю в общем случае. Найдите уравнение на $\lambda$. Выразите ответ через $\alpha$, $\Omega$ и $\lambda$.

1 Записан второй закон Ньютона	0.10
2 Получена линейная система на $A$ и $B$	0.10
3 Сказано или используется, что система должна быть вырожденной	0.10
4 Ответ: $\lambda^4 - 2 \Omega^2 \lambda^2 - 27 \Omega^4 = 0$	0.20

C13 ^0.50 Существует четыре решения для $\lambda$. Найдите $\lambda$. Определите устойчивость этой точки.

1 $\lambda_1 = i \Omega \sqrt{ 2 \sqrt{7} - 1}$	0.10
2 $\lambda_2 = -i \Omega \sqrt{ 2\sqrt{7} - 1}$	0.10
3 $\lambda_3 = \Omega \sqrt{1 + 2\sqrt{7}}$	0.10
4 $\lambda_4 = - \Omega \sqrt{1 + 2\sqrt{7}}$	0.10
5 Положение равновесия неустойчиво	0.10

C14 ^0.20 Для системы Солнце-Земля: если эта точка устойчива, найдите ее наименьший период колебаний (в днях), если же она неустойчива, найдите наименьшее $\frac{1}{\lambda}$ (тоже в днях).

1 $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\Omega} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \sqrt{7}}}$	0.10
2 $\frac{1}{\lambda} = 23~\text{дня}$	0.10

C15 ^0.20 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial x} = c_5 \Omega^2$. Найдите $c_5$.

1 $c_5 = \frac{3}{4}$

0.20

C16 ^0.30 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{1}{m} \frac{\partial F_x}{\partial y} = \left( c_6 + c_7 \alpha \right) \Omega^2$. Найдите $c_6$ и $c_7$.

1 $c_6 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$	0.20
2 $c_7 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$	0.10

C17 ^0.20 Покажите, что $\frac{1}{m} \frac{\partial F_y}{\partial y} = c_8 \Omega^2$. Найдите $c_8$.

1 $c_8 = \frac{9}{4}$

0.20

C18 ^0.50 Решение полученной линейной системы является суммой решений вида $\delta x = A e^{\lambda t}$, $\delta y = B e^{\lambda t}$, где $A$ и $B$ не равны одновременно нулю в общем случае. Найдите уравнение на $\lambda$. Выразите ответ через $\alpha$, $\Omega$ и $\lambda$.

1 Записан второй закон Ньютона	0.10
2 Получена линейная система на $A$ и $B$	0.10
3 Сказано или используется, что система должна быть вырожденной	0.10
4 Ответ: $\lambda^4 + \lambda^2 \Omega^2 + \frac{27}{16} \Omega^4 \left( 1 - \left(1 - 2\alpha \right)^2 \right) = 0$	0.20

C19 ^0.80 Определим $M_1/M_2 = \xi$. Найдите множество значений $\xi$, при котором четвертая точка Лагранжа устойчива.

1 Получено условие устойчивости: $1 - 27 \alpha \left( 1 - \alpha \right) > 0$	0.40
2 Получено условие устойчивости, выраженное через $\xi$: $1 - \frac{27 \xi}{\left(1 + \xi \right)^2} > 0$	0.20
3 Ответ: $\xi < \frac{25 - 3\sqrt{69}}{2}$ или $\xi > \frac{25 + 3\sqrt{69}}{2}$	0.20

Устойчивость точек Лагранжа

Разбалловка