1  ^?? Определите равновесный радиус пузыря $R_{0}$.

Найдём давление на пузырь, обусловленное электростатическими силами. Рассмотрим малый элемент $\Delta S$ поверхности. Напряжённость электрического поля $E_{0}$, действующего на него, по модулю равна напряжённости поля $E_{1}$, создаваемого им самим вблизи его поверхности (это следует, например, из того, что напряжённость поля внутри пузыря должна быть равна нулю). Тогда на него действует сила
$$
F_{\text {э }}=E_{0} \cdot \frac{Q \Delta S}{4 \pi R^{2}}, \quad \text { где } \quad E_{0}=E_{1}=\frac{1}{2 \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{4 \pi R^{2}}.
$$
Таким образом, давление на пузырь, обусловленное электростатическими силами:
$$
p_{э}=\frac{F_{э}}{\Delta S}=\frac{Q^{2}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} R^{4}}.
$$
Давление сил поверхностного натяжения равно $p_{\sigma}=-4 \sigma / R$. Суммарное давление равно $p=p_{э}+p_{\sigma}$. В равновесном состоянии $p=0$ :
$$
\frac{Q^{2}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} R_{0}^{4}}-\frac{4 \sigma}{R_{0}}=0.
$$
Следовательно, равновесный радиус
$$
R_{0}=\sqrt[3]{\frac{Q^{2}}{128 \pi^{2} \varepsilon_{0} \sigma}} \approx 3.0~см.
$$

2  ^?? Определите период малых колебаний пузыря, если при колебаниях он сохраняет сферическую форму.

Если радиус пузыря отклонился от равновесного значения $R_{0}$, то сила, которая действует на малый элемент $\Delta S$ поверхности, может быть записана в виде
$$
F=p \Delta S=4 \sigma\left(\frac{R_{0}^{3}}{R^{4}}-\frac{1}{R}\right) \Delta S.
$$
При малых изменениях радиуса $\left(\Delta R \ll R_{0}\right)$ выражение для силы имеет вид
$$
F=\left.\frac{d p}{d R}\right|_{R=R_{0}} \cdot \Delta R \cdot \Delta S=\left.4 \sigma \Delta R \Delta S\left(-\frac{4 R_{0}^{3}}{R^{5}}+\frac{1}{R^{2}}\right)\right|_{R=R_{0}}=-\frac{12 \sigma}{R_{0}^{2}} \Delta R \Delta S.
$$
Знак «ー» означает, что равновесное состояние пузыря устойчиво. Применим второй закон Ньютона к элементу поверхности $\Delta S$ массы $\Delta m$:
$$
\Delta m \Delta \ddot{R}=-\frac{12 \sigma}{R_{0}^{2}} \Delta R \Delta S, \quad \Delta m=\frac{m \Delta S}{4 \pi R_{0}^{2}},
$$
откуда
$$
\Delta \ddot{R}+48 \frac{\pi \sigma}{m} \Delta R=0.
$$
Это уравнение свободных колебаний с круговой частотой $\omega=$ $=\sqrt{48 \pi \sigma / m}$. Таким образом,
$$
T=\frac{2 \pi}{\omega}=\sqrt{\frac{\pi m}{12 \sigma}} \approx 16~мс.
$$

3  ^?? Оцените, с какой скоростью разлетятся брызги, если пузырь внезапно зарядить зарядом $Q_{1}=10~Q$?

Скорость разлёта брызг можно оценить из закона сохранения энергии. Пренебрегая поверхностной энергией, получим
$$
\frac{1}{2} \frac{Q_{1}^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R_{0}}=\frac{m v^{2}}{2}, \quad \text { откуда } \quad v=\sqrt{\frac{100 Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R_{0} m}} \approx 94~м/с.
$$