A1  ^0.10 Укажите размерность модуля Юнга $E$ и коэффициента Пуассона $\nu$.

A2  ^0.50 Выразите значение $p_0$ через $F$ и $a$.

\[F = \int\limits_0^a p_0 \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} 2 \pi r \, dr = \frac{2}{3} \pi p_0 a^2\]

A3  ^0.40 Найдите момент силы сухого трения $M$ относительно оси вращения. Выразите ответ через $F$, $R$, $\mu$, $E$, $\nu$ и численную константу $J$, задающуюся выражением
\[J=\int\limits_0^1 u^2 \sqrt{1-u^2} du\]

\[\mathrm{d}M =\mu\cdot 2\pi r^2\cdot p(r)\mathrm{d}r \]\[M = \int\limits_0^a \mu p_0 \sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}} 2\pi r^2 \, dr = 2\pi a^3 p_0 \mu J = 3 F a \mu J \]При этом из формулы Герца $a = \sqrt[3]{\frac{3FR(1-\nu^2)}{4E}}$, поэтому в итоге

A4  ^0.50 Получите явный вид функции $J(x)$, задающейся выражением
\[J(x) = \int\limits_0^x u^2 \sqrt{1-u^2} du.\]

Примечание: если у вас не получилось найти явный вид $J(x)$, то вы можете использовать $J(1)=\pi/16$.

С помощью замены $u= \sin v$ ($du = \cos v \, dv$) получим
\[J(x) = \int\limits_0^{\arcsin x} \sin^2 v \cos^2 v \, dv = \frac{1}{4} \int\limits_0^{\arcsin x} \sin^2 2v \, dv = \frac{1}{8} \int\limits_0^{\arcsin x} \left( 1 - \cos 4 v \right) dv = \frac{\arcsin x}{8} - \frac{\sin ( 4 \arcsin x )}{32} \]При этом
\[\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin x \cos x (1-2 \sin^2 x) = 4 \sin x \sqrt{1-\sin^2 x} (1- 2 \sin^2 x),\]значит
\[J(x) = \frac{\arcsin x}{8} -\frac{x\sqrt{1-x^2}(1-2x^2)}{8}\]

B1  ^0.50 С помощью осциллографа измерьте последовательность времен $t_i$ прохождения черной полосы над фотодиодом.

В последовательности должно быть не менее $15$ времен!

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$t_i, с$	0.10	0.22	0.34	0.45	0.56	0.68	0.78	0.91	1.03	1.15	1.28	1.41	1.53	1.66	1.79
$i/t_i, с^{-1}$	9.62	9.26	8.93	8.93	8.93	8.82	8.93	8.77	8.74	8.70	8.59	8.51	8.50	8.43	8.38

B2  ^0.50 Постройте график зависимости $t_i$ от $i$ в таких координатах, чтобы он был линейным. Найдите параметры прямой.

B3  ^0.30 В листе ответов укажите галочками, при каких из указанных комбинаций вращение волчка будет устойчивым.

B4  ^3.00 Для 6-ти разных устойчивых комбинаций гаек и болтов, прикрученных к насадке, проведите измерения, аналогичные пункту B1. Изобразите использованные комбинации тем способом, который предложен в условии.

Примечание: измерения полностью аналогичны части B1, т.е. насадка без болтов и гаек НЕ считаются за комбинацию. Комбинации, которые не различаются с точки зрения динамики, считаются за одну.

Комбинация 1

Комбинация 2

Комбинация 3

Комбинация 4

Комбинация 5

Комбинация 6

B5  ^0.30 Используя метод наименьших квадратов, проведите анализ зависимостей, полученных в предыдущем пункте, аналогичный вашему решению пункта B2.

B6  ^0.40 На основе результатов пунктов B2 и B5 постройте линеаризованный график, позволяющий найти модуль Юнга $E$ полибутадиенового каучука.

Угловое ускорение $\dot{\omega}$ связано с моментом инерции $I$ и моментом силы трения $M$ через основное уравнение динамики вращательного движения:
\[ I \dot{\omega} = M\]Момент инерции $I$ и суммарную массу $m$ можно вычислить для каждой комбинации болтов и гаек. Тогда координаты, линеаризующие зависимость, это $I \dot{\omega}$ от $m^{4/3}$. Прямая должно проходить через ноль и иметь наклон
\[k= 3 \sqrt[3]{\frac{3R(1-\nu^2)}{4E}} \mu J g^{4/3}\]

B7  ^0.50 Найдите модуль Юнга $E$ полибутадиенового каучука.