Подсказка: согласно распределению Больцмана, при термодинамическом равновесии концентрация каждого из типов ионов $n_i$ зависит от их потенциальной энергии этих ионов $U_i$ по закону:\[n_i =n_{i0}\exp\left[-\dfrac{Vq_i}{k_BT}\right].\]
| 1 Получено выражение для потенциала через поле $\varphi(x)=\lambda E_0 e^{-x/\lambda}$ | 0.20 |
|
| 2 Получено выражение для плотности заряда через поле $\rho(x)=-\varepsilon\varepsilon_0\lambda E_0e^{-x/\lambda}$ | 0.20 |
|
| 3 Получено выражение для плотности заряда через потенциал $\rho(x)=\sum_in_{i0}q_i\exp\left[-\dfrac{q_i\varphi(x)}{k_BT}\right]$ | 0.40 |
|
| 4 Полученное выражение раскрыто по малости $\rho(x)=-\dfrac{\lambda E_0 e^{-x/\lambda}}{k_BT}\sum_in_{i0}q_i^2$ | 0.20 |
|
| 5 Ответ $\lambda=\sqrt{\dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 k_BT}{\displaystyle\sum\limits_in_{i0}q_i^2}}$ | 0.20 |
|
| 1 Ответ $\lambda=0.47~нм$ | 0.20 |
|
| 2 Явно указано, что $\lambda\ll d$ | 0.10 |
|
| 1 Ответ из теоремы Гаусса $\sigma=-\varepsilon\varepsilon E_0$ | 0.20 |
|
| 1 Распределение Больцмана $c_{\mathrm{Na}^+}=c_{\mathrm{Na}^+}^0\exp\left[-\dfrac{eV^\mathrm{Nernst}_{\mathrm{Na^+}}}{k_BT}\right]$ | 0.20 |
|
| 2 Ответ $V^\mathrm{Nernst}_{\mathrm{Na^+}}=\dfrac{k_\mathrm BT} {e}\ln\dfrac{c^0_{\mathrm{Na^+}}}{c_{\mathrm{Na^+}}}$ | 0.20 |
|
| 1 Концентрации внутри клетки $c_{\mathrm{Na^+}}=c_{\mathrm{Na^+}}^0\exp\left[-\dfrac{eV}{k_BT}\right]$, $c_{\mathrm{K^+}}=c_{\mathrm{K^+}}^0\exp\left[-\dfrac{eV}{k_BT}\right]$, $c_{\mathrm{Cl^-}}=c_{\mathrm{Cl^-}}^0\exp\left[\dfrac{eV}{k_BT}\right]$ | 3 × 0.10 |
|
| 2 Условие электронейтральности внутри клетки $c_{\mathrm{Na^+}}+c_{\mathrm{K^+}}-c_{\mathrm{Cl^-}}+\rho_\mathrm{macro}/N_Ae=0$ | 0.10 |
|
| 3 Решено квадратное уравнение $\exp\left[-\dfrac{eV}{k_BT}\right]=1.62$ | 0.20 |
|
| 5 Ответы $V=-12.9~мВ$, $c_{\mathrm{K^+}}=32~ммоль/л$, $c_{\mathrm{Na^+}}=713~ммоль/л$, $c_{\mathrm{Cl^-}}=346~ммоль/л$ | 4 × 0.05 |
|
| 1 Условие равновесия для тока ионов калия $-2J_\mathrm{pump}+g_{\mathrm{K^+}}\left(V-\dfrac{k_\mathrm BT} {e}\ln\dfrac{c^0_{\mathrm{K^+}}}{c_{\mathrm{K^+}}}\right)=0$ | 0.20 |
|
| 2 Условие равновесия для тока ионов натрия $3J_\mathrm{pump}+g_{\mathrm{Na^+}}\left(V-\dfrac{k_\mathrm BT} {e}\ln\dfrac{c^0_{\mathrm{Na^+}}}{c_{\mathrm{Na^+}}}\right)=0$ | 0.20 |
|
| 3 Условие равновесия для тока ионов хлора $c_{\mathrm{Cl^-}}=c_{\mathrm{Cl^-}}^0\exp\left[\dfrac{eV}{k_BT}\right]$ | 0.10 |
|
| 4 Условие электронейтральности внутри клетки $c_{\mathrm{Na^+}}+c_{\mathrm{K^+}}-c_{\mathrm{Cl^-}}+\rho_\mathrm{macro}/N_Ae=0$ | 0.10 |
|
| 5 Решено квадратное уравнение $\exp\left[-\dfrac{eV}{k_BT}\right]=2.74$ | 0.20 |
|
| 7 Ответы $V=-70.0~мВ$, $c_{\mathrm{K^+}}=568~ммоль/л$, $c_{\mathrm{Na^+}}=36~ммоль/л$, $c_{\mathrm{Cl^-}}=204~ммоль/л$ | 4 × 0.05 |
|
| 1 Максимальная необходимая энергия – на перенос 3 ионов натрия наружу | 0.20 |
|
| 2 Ответ $N_{АТФ}=1$ | 0.20 |
|
| 1 Ток, вытекающий через стенки аксона $2\pi ag_\mathrm{tot}v$ | 0.20 |
|
| 2 Ток, втекающий в участок аксона $-\pi a^2\dfrac{\mathrm d j}{\mathrm dx}$ | 0.20 |
|
| 3 Общее решение уравнения $v(x)=A\exp\left[x\left/\sqrt{\dfrac{a\sigma}{2g_\mathrm{tot}}}\right.\right]+B\exp\left[-x\left/\sqrt{\dfrac{a\sigma}{2g_\mathrm{tot}}}\right.\right]$ | 0.30 |
|
| 4 Граничные условия $v(|x|\to\infty)=0$, $\left.\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\right|_{x=+0}-\left.\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\right|_{x=-0}=-\dfrac{I_0}{\pi a^2\sigma}$ | 0.20 |
|
| 5 Ответ $v(x)=\dfrac{I_0}{2\pi a\sqrt{2a\sigma g_\mathrm{tot}}}\exp\left[-|x|\left.\sqrt{\dfrac{2g_\mathrm{tot}}{a\sigma}}\right.\right]$ | 0.10 |
|
| 1 Связь изменения динамического потенциала $\mathrm dv$ с увеличением заряда участка аксона $\mathrm dq$ вида $C\,\mathrm dv\,\mathrm dx=\mathrm dq$ | 0.20 |
|
| 2 Общее уравнение $\dfrac{\partial v}{\partial t}=\dfrac{\pi a^2\sigma}{C}\dfrac{\partial^2v}{\partial x^2}-\dfrac{2\pi ag_\mathrm{tot}}{C}v$ | 0.10 |
|
| 3 Ответы $\alpha=\dfrac{\pi a^2\sigma}{C}$, $\beta=\dfrac{2\pi ag_\mathrm{tot}}{C}$ | 2 × 0.05 |
|
Примечание: решение удобно искать в виде\[v(x,t)=\dfrac{v_0b}{\sqrt{f(t)}}\exp\left[-\dfrac{x^2}{f(t)}\right]\exp\left[-\dfrac{t}{\tau}\right],\]где $f(t)$ – линейная по $t$ функция, $\tau$ – некоторая константа.
| 1 Вычислена производная $\dfrac{\partial v}{\partial t}=\dfrac{v_0b}{\sqrt{b^2+\gamma t}}\exp\left[-\dfrac{x^2}{b^2+\gamma t}\right]\exp\left[-\dfrac{t}{\tau}\right]\left(-\dfrac{\gamma}{2\left(b^2+\gamma t\right)}+\dfrac{\gamma x^2}{\left(b^2+\gamma t\right)^2}-\dfrac{1}{\tau}\right)$ | 0.20 |
|
| 2 Вычислена производная $\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}=\dfrac{v_0b}{\sqrt{b^2+\gamma t}}\exp\left[-\dfrac{x^2}{b^2+\gamma t}\right]\exp\left[-\dfrac{t}{\tau}\right]\left(-\dfrac{2}{b^2+\gamma t}+\dfrac{4x^2}{\left(b^2+\gamma t\right)^2}\right)$ | 0.20 |
|
| 3 Получена и решена система на $\alpha$, $\beta$: $\tau=\dfrac{1}{\beta}$, $\gamma=4\alpha$ | 0.40 |
|
| 4 Ответ $v(x,t) = \dfrac{v_0b}{\sqrt{b^2+4\pi a^2\sigma t/C}}\exp\left[-\dfrac{x^2}{b^2+4\pi a^2\sigma t/C}-\dfrac{2\pi ag_{\mathrm{tot}}t}{C}\right]$ | 0.20 |
|
| 1 Масштаб распространения по времени $\tau$, по расстоянию $\sqrt{\dfrac{2a\sigma}{g_\mathrm{tot}}}$ | 2 × 0.10 |
|
| 2 Ёмкость на единицу длины $C=\dfrac{2\pi\varepsilon\varepsilon_0a}{d}$ | 0.10 |
|
| 3 Ответы $\tau\sim 2.5 ~мс$, $x\sim5~мм$ | 2 × 0.05 |
|
| 1 Линейный вклад $g_\mathrm{tot}v$ | 0.10 |
|
| 2 Нелинейный вклад $Bv^2(v-H)$ | 0.20 |
|
| 3 Решено квадратное уравнение $v=\dfrac{BH\pm\sqrt{B^2H^2-4Bg_\mathrm{tot}}}{2B}$ | 0.20 |
|
| 4 Ответ $v_{1}=\dfrac{H}{2}\left[1-\sqrt{1-\dfrac{4g_\mathrm{tot}}{BH^2}}\right]$, $v_{2}=\dfrac{H}{2}\left[1+\sqrt{1-\dfrac{4g_\mathrm{tot}}{BH^2}}\right]$ | 2 × 0.05 |
|
| 1 Условие невозврата к потенциалу покоя – разные знаки $J$ и $v$ | 0.20 |
|
| 2 Ответ $v_1$ | 0.10 |
|